巧用“專題探究”引領學生數學地思維

在教學了“圓錐體積的計算”之后，我特地安排了一次數學測驗，測驗中設計了這樣的題目：

題1：如果一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，它們的體積一共是48立方厘米，那么圓錐的體積是（）立方厘米。已知圓錐的底面積是9平方厘米，那么它的高是（）厘米。

題2：把一個底面積45平方分米，高7分米的圓柱體鋼塊，鑄成一個圓錐體零件，這個零件的體積是（）立方分米。已知這個零件的高是9分米，那么它的底面積是（）平方分米。

在我所任教的班級中，學生第1題的得分率為92%，第2題的得分率僅為28%。兩道難度相仿的題，為什么會出現這么大的差別呢？于是我決定調查了解第2題錯誤的同學是如何思考和解決這道題的？對題意的理解存在著怎樣的錯誤？調查的結果如下：

生1：在學習圓錐體積計算的時候，老師強調用“底面積乘以高”后一定要除以3或者乘■，所以我用45×7÷3來求這個圓錐的體積。因為圓錐的體積算錯了，所以這個圓錐的底面積也求錯了。

生2：這個題中圓錐的體積為什么不需要除以3，我感覺還是很困惑，為什么計算圓錐體積有時候要除以3，有時候又不要除以3，還是分不清。

生3：我在理解這道題題意的時候，把這個圓柱和圓錐看成了等底等高的圓錐與圓柱，所以我就用45×7÷3來求這個圓錐的體積了。結果發現自己錯了，它們并不是等底等高的。

這一調查的結果讓我豁然開朗，學生對自己解題失誤的反思更讓我察覺這一失誤并非偶然，學生在解決類似的問題中具有一定的普遍性，而且這一“群體性”的失誤也讓我對這一失誤提高了警惕，試圖“透過現象發現本質”，分析其內在的更為深刻的原因，從而提出改進教學的有效策略。通過分析，我們不難發現，這一道題的“群體性“失誤反映了教師的教學過程中存在這樣一些問題：

1.片面強調解題方法的“模式化”，限制了學生的思維能力

在應用圓錐體積公式求體積時，教師常常會提醒學生乘1/3或者除以3，事實上，這也確實是學生解決“已知圓錐底面積（或者底面半徑、直徑）和高，求圓錐體積”時容易出現的錯誤。但這一教師原本善意的提醒，但經過不斷的練習強化后，學生就產生了“凡是求圓錐體積就要乘1/3或者除以3”的不良思維定勢。

2.教師忽視了學生“文本解讀”與分析能力的培養

練習中，學生對“圓柱體鋼塊熔鑄成圓錐體零件”這一問題情境中圓柱與圓錐之間量的關系并沒有深刻的認識，或者說學生并沒有能理解題意。對問題情境的錯誤解讀與解讀偏差導致了學生在解決問題時，機械、僵化地套用公式。歸根結底，反映了學生根據實際情況分析問題的思維能力的缺乏，也反映了教師在這方面的思維訓練的不足。

《數學課程標準》（實驗稿）指出：“數學是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫，逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”筆者以為，要讓學生真正理解題2問題情境中圓柱與圓錐之間量的關系，僅僅依靠教師的講解、分析是不夠的，還需要提高學生的“文本解讀”能力，即思考這個問題中數量之間的關系；還需要提高學生應變能力，即學會分析思考稍有變化的實際問題情境。而這些，可以通過“專題探究”來實現，讓學生在“專題探究”中學會分析、辨別、思考，自主探究。于是我設計了如下教學片斷：

專題探究：圓錐的體積怎樣求？

教師出示專題探究問題情境，讓學生小組合作，思考三個問題情境中圓錐體積與圓柱的關系，嘗試解決問題。

問題情境一：一個裝滿水的圓柱形容器，底面直徑8厘米，高是3厘米，若把容器中的水倒入一個底面直徑6厘米的圓錐形容器中，正好倒滿，水深多少厘米？

問題情境二：一個底面半徑為10厘米的圓柱形水桶中裝有水，把一個半徑5厘米的圓錐形鉛錐浸沒在水中后，水面上升1厘米，鉛錐的高是多少厘米？

問題情境三：一個圓柱形鐵塊，底面直徑6厘米，高30厘米。把它熔鑄成一個圓錐體，圓錐體的高是10厘米，它的底面積是多少平方厘米？

通過專題探究，學生發現，情境一與情境三中圓錐的體積與圓柱的體積是相等的，求出圓柱的體積也就求出了圓錐的體積；情境二中的圓錐的體積等于圓柱形容器中上升的水的體積，求出上升的水的體積也就求出了圓錐的體積。進而學生發現并不是求圓錐的體積都需要除以3，解題時要理解問題情境的本質所在。

上述的這些具體的問題情境雖然在形式上各不相同，但在本質上卻有一點是相同的，即圓錐的體積均不是用圓錐的底面積×高÷3直接進行計算的，而是通過計算與圓錐等體積的物體體積來間接計算的。情境一與情境三都是“形狀改變，體積不變”，情境二中圓錐的體積等于圓柱中水上升的體積。筆者以為，在運用專題探究，引領學生數學地思維的過程中，教師要努力做到以下兩點：

1.設計“專題探究”情境，剖析情境中的數學本質

研究表明，重復的機械性訓練會形成思維定勢，影響學生的思考力，影響學生對不同的問題情境的理解。如果教師只依靠模仿性練習讓學生“記住”知識，而非推進認知結構，就會將數學肢解成零散的小步驟來訓練，活生生的數學思想就被完全割裂，不復存在。而數學專題探究的優點在于，通過創設一組有聯系的問題情境，引導學生進行比較、辨別，找出情境間內在的聯系，從而找出這一類問題的內部表征，進而引領學生在經歷問題研究的過程中理解數學情境的本質結構。

研究中我們發現，由于教師在教學“圓錐體積的計算”時刻意地強調除以3，導致學生的解題思維僵化，狹窄，所以專題探究的作用還在于，通過這一組習題訓練學生思維的廣度與靈活性，提高學生思維的深刻性，從而提高學生思維品質。

2.如何通過“專題探究”引領學生數學地思維

教學中，教師需要通過必要的訓練使學生積累一定數量的解題“模式”，但更需要引導學生掌握一類問題的內部表征，引導學生思考時直逼問題的“數學內核”，這是學生解決問題的關鍵。學生如果沒有這些知識儲備，就很難對問題進行分析、抽取特征加以合并，很難真正地學會解決問題。

專題探究中，教師要引導學生正確地解讀問題情境，分析問題情境中數量之間的聯系，提高學生解讀數學問題情境的能力。如上述案例中，引導學生思考，圓錐的體積與已知的圓柱有怎樣的關系？從而發現這里的圓錐體積并不是直接求出來的，而是通過它與圓柱之間的關系間接求解的。同時，教師要引導學生對不同呈現形態的問題情境進行比較，進而發現問題結構的異同。教師還要引導學生反思解題過程，思考這些看上去并無聯系的情境背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某一個統一的數學結構？從而積累解決問題的經驗，獲得解題的策略、技巧、思想方法，進而形成解決這一類問題的解題模型。

責任編輯：陳國慶