一道常見題編撰漏洞之辯析

在許多輔導資料中有這樣一道習題：如圖1所示，有一光滑半圓柱體固定在桌面上，其半徑為R，一根不可伸長的細線的兩端分別栓住物塊A和B（可當質點），mA=2mB，自圖中所示位置從靜止開始釋放，當物塊B從桌面滑到半圓柱頂端時，繩中的張力對B所做的功是多少？

解析A、B兩物體組成的系統在豎直面內運動，只有重力做功，故系統機械能守恒。設B到達圓柱頂端時，A下降的高度為Δh，此時A、B共同速度為v，則有

從上述解題過程看，似乎是正解，因為A的質量大于B的質量，所以繩的拉力大于B的重力，則B總能通過圓柱的頂端。其實命題者在這里犯了一個錯誤。我們知道，在豎直面內做圓周運動的物體，必須滿足一定的力學條件，本題中，要使B通過圓柱的頂端，則必須滿足mBg≥mBv2/R，而題目中A、B兩物體的質量關系以及運動過程中的幾何關系已經確定，那么能否滿足mBg≥mBv2/R就不一定了。今做如下分析：設B物體能通過圓柱體的頂端

所以物體B不可能通過圓柱的頂端。事實上B物體在還沒有到達圓柱的頂端前就會飛離接觸面，我們不防把這個位置求出來。設B將要離開接觸面時，過B的圓半徑與水平方向的夾角為θ(如圖2)，此時B的速度大小為v，由機械能守恒定律可得

而本題mAmB=2，是不滿足（15）式要求的。

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