對一道高考試題解法的探討
2007-12-31 00:00:00勵箭生
物理教學探討 2007年19期
2004年高考試題（江蘇卷）的第18題原題如下：
一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇，狗與雪橇始終沿一條直線運動。若狗跳離雪橇時雪橇的速度為V，則此時狗相對于地面的速度為V+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，V+u為代數和。若以雪橇運動的方向為正方向，則V為正值，u為負值）。設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計。已知v的大小為5m/s，u的大小為4m/s，M=30kg，m=10kg。
⑴求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小。
⑵求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數。（供使用但不一定用到的對數值：lg2=0.301，lg3=0.477）
對于此題的第二小題，參考答案給出了二種解法（因許多雜志均有刊登，此處不再重復）。下面介紹另一種方法，不妨稱之為解法三。
解法三：
求解此題首先要尋找的是狗跳上或者跳下時，雪橇速度的變化存在著什么規律。假設狗在任意一時刻（此時雪橇和狗的共同速度為v0）跳下雪橇，有：
(M+m)v0=Mv′-m(u-v′)
解得：v′=v0+mM+mu=v0+1(1)
即狗每次跳下后雪橇速度在原來基礎上增加1m/s。
假設狗在任意一時刻以速度v（此時雪橇速度為v0）跳上雪橇，有：
mv+Mv0=(M+m)v′
解得：v′=MM+mv0+mM+mv
=34v0+54(2)
(2)式為狗跳上雪橇后雪橇速度與原來雪橇速度的關系，綜合(1)(2)兩式可得到：
第一次跳下：v1=v0+1（此時v0=0）
第一次跳上：v′1=34(v0+1)+54
第二次跳下：v2=v′1+1
第二次跳上：v′2=34［34(v0+1)+94］+54
=34(v0+1)+94
第三次跳下：v3=v′2+1
=34［34(v0+1)+94］+94(3)
由題意可知，只有在狗某次跳下后的速度大于或等于v時，狗無法追上雪橇，所以我們來分析狗每次跳下后雪橇速度的變化規律。由(3)式可得：
vn=34vn-1+94
即：vn-9=34(vn-1-9)
可見此函數是以(v1-9)為首項，公比為34的等比數列，其通項為：
vn-9=(v1-9)(34)n-1
化簡：vn=9+(v1-9)(34)n-1(4)
其中v1=1，vn≤5
12=(34)n-1lg12=(n-1)lg34
解得：n=3.41
所以狗在第4次跳下后就無法追上雪橇，即狗最多能跳上雪橇3次。雪橇的最終速度就是狗第4次跳下后的速度。
所以，取n=4時代入(4)式，可得：
v4=9+(1-9)(34)3=5.625m/s
對于參考答案中的解法一，事后有些同學看了答案仍然覺得一頭霧水，其實是其解答的過程過于簡化了，影響了大多數學生的理解，我們不妨將其解答過程細化如下：
設雪橇運動的方向為正方向，狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度為Vn-1，則狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V′n-1滿足：
MVn-1+mv=(M+m)V′n-1
這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為Vn滿足：
MVn+m(Vn+u)=(M+m)V′n-1
兩式聯立得：
MVn+m(Vn+u)=MVn-1+mv
化簡得： (M+m)Vn=MVn-1+m(v-u)
Vn=MM+mVn-1+mM+m(v-u)
Vn-x=MM+m(Vn-1-x)
其中：x=(v-u)
此函數是以［v1-(v-u)］為首項，公比為MM+m的等比數列
其通項為：
Vn-(v-u)=［V1-(v-u)］(MM+m)n-1
以下的計算思路同解法三，將V1代入，通過化簡就可以得到結果：
Vn=(v-u)［1-(MM+m)n-1］-muM+m(MM+m)n-1
狗追不上雪橇的條件是Vn≥v可化為： (MM+m)n-1≤(M+m)uMu-(M+m)v
由此可見，其解題思路與解法三是完全一樣的，但難度卻大大提升，很少有學生能在有限的時間內完成求解。所以筆者認為，解法一作為高考題的一個參照標準對廣大考生來說是缺乏普遍意義的，而且如此簡略的解答也頗令人費解。
(欄目編輯陳潔)
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