例析高中物理中的典型數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力，是高考要求學(xué)生必須具備并重點(diǎn)考查的五種基本能力之一。對(duì)此《考試大綱》中有明確的闡述，要求學(xué)生能根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形及函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析，能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算。近幾年高考中，涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的問(wèn)題，既有較為簡(jiǎn)單的選擇題。也不乏較為煩瑣、具有一定難度的綜合性計(jì)算題。熟練地掌握和應(yīng)用一些典型的數(shù)學(xué)方法，對(duì)提高物理成績(jī)是大有幫助的。在中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納法、微元法等。下面結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@五種典型數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用，以期對(duì)高中物理的平時(shí)學(xué)習(xí)與高三復(fù)習(xí)效率的提高起到一定的作用。

1 幾何法

常用的有三角形的相似、解直角三角形及一些幾何公理的應(yīng)用等。

例1 一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m電量為q、以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖1中第一象限所示的區(qū)域，為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直xOy平面，以磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形區(qū)域的最小半徑。(重力不計(jì))。

解析 質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中做半徑為R=mv/Bq的圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌跡是半徑為R的圓上的一段1/4圓弧。這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切，過(guò)b點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，則與這兩直線(xiàn)均相距R的O′點(diǎn)就是圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓(如圖中的虛線(xiàn)圓)上的圓弧 MN，而M、N兩點(diǎn)應(yīng)在所求的最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。

在通過(guò)M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN的連線(xiàn)為直徑的圓周，所以本題所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為

所求的磁場(chǎng)區(qū)域如圖中實(shí)線(xiàn)圓所示。

方法指導(dǎo) 本題的解題方法是幾何法。求解過(guò)程由兩個(gè)部分組成：其一為得出必要的幾何形狀，其二為計(jì)算粒子在磁場(chǎng)中的周期公式和半徑公式。解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)，即先作幾何圖形然后再利用物理知識(shí)求解。通常的解題思路為：(1)畫(huà)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2)找圓心，由幾何關(guān)系求半徑；(3)根據(jù)兩圓相交知識(shí)，由公共弦求圓的最小半徑。

2 圖象法

圖象法具有簡(jiǎn)明、直觀的特點(diǎn)，它既能形象地展示兩個(gè)相關(guān)物理量間的相互制約關(guān)系，又可描述清晰的物理過(guò)程。對(duì)一些較抽象的物理問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象，常可化抽象為形象，便于突破難點(diǎn)、疑點(diǎn)，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，計(jì)算快速便捷。在利用圖象解題時(shí)，第一要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，另外還要注意圖線(xiàn)的斜率(常表示一個(gè)物理量)、截距(常反映-個(gè)物理量的臨界值)和圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積(常與某一物理量相對(duì)應(yīng))等各量表示的物理意義。

例2 螞蟻離開(kāi)巢沿直線(xiàn)爬行，已知它的速度與巢中心的距離成反比。當(dāng)螞蟻爬到距巢中心l1＝1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1＝2cm／s。試問(wèn)螞蟻從A點(diǎn)爬到距巢中心l2＝2m的B點(diǎn)所需要的時(shí)間為多少？

解析 此題中，螞蟻的速度隨時(shí)間的變化是非線(xiàn)性的，不能運(yùn)用勻速運(yùn)動(dòng)公式求解。于是，可把螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的路程分成許多小段，則通過(guò)某一段△li所用的時(shí)間為△ti＝△li/vi，式中vi表示螞蟻在該小段△li內(nèi)的平均速度。因?yàn)椤鱨i很小，在△li內(nèi)的平均速度與△li內(nèi)任一位置的瞬時(shí)速度沒(méi)有差別。

從△ti＝△li/vi可聯(lián)想到作出從A點(diǎn)到B點(diǎn)整個(gè)路程上1/v與l之間的關(guān)系圖，這個(gè)圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，由圖2可知，直線(xiàn)下面有斜線(xiàn)部分的面積在數(shù)值上就等于所求的時(shí)間，即：

方法指導(dǎo) 本題巧妙采用1/v-l圖像解答，不僅使它的“面積”能夠表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而且同時(shí)把速度與距離成反比(圖線(xiàn)為曲線(xiàn))轉(zhuǎn)化為速度的倒數(shù)與距離成正比(圖線(xiàn)為直線(xiàn)) 使原來(lái)較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)求解變得很容易。

3 微元法

利用微分思想的分析方法稱(chēng)為微元法。它是將研究對(duì)象(物體或物理過(guò)程)進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，再?gòu)闹谐槿∧骋晃⑿卧M(jìn)行討論，從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法。

微元法解題的思維程序：

(1)隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉?duì)象。微元可以是一小段線(xiàn)段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間……

(2)將微元模型化(如視作點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)……)，并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律，求解這個(gè)微元與所求物體的關(guān)聯(lián)。

(3)將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體的合理解答。

例3 如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)，電阻r=0.3Ω，質(zhì)量m=0.1kg的金屬棒CD垂直放在位于水平面上的兩條平行光滑的金屬導(dǎo)軌上，兩條導(dǎo)軌間距也為L(zhǎng)，棒與導(dǎo)軌間接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。導(dǎo)軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程為0～3.0A的電流表串接在一條導(dǎo)軌上，量程為0～3.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)向下穿過(guò)平面。現(xiàn)以向右恒定外力F使金屬棒右移，當(dāng)金屬棒以v=2m／s的速度在導(dǎo)軌平面上勻速滑動(dòng)時(shí)，觀察到電路中的一個(gè)電表正好滿(mǎn)偏，而另一個(gè)電表未滿(mǎn)偏，問(wèn)：

(1)此滿(mǎn)偏的電表是什么表?說(shuō)明理由。

(2)拉動(dòng)金屬棒的外力F多大?

(3)此時(shí)撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來(lái)，最終停止在導(dǎo)軌上，求從撒去外力到金屬棒停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中通過(guò)電阻R的電量。

解析 撤去外力F后，棒水平方向只受安培力。安培力的沖量等于棒的動(dòng)量的變化，即棒的動(dòng)量的變化是安培力在時(shí)間上的積累效應(yīng)，與此過(guò)程相對(duì)應(yīng)的，通過(guò)電阻R的電量則是電流在時(shí)間上的積累效應(yīng)。

(1)設(shè)電流表滿(mǎn)偏，則I＝3.0A

由歐姆定律得：U＝IR＝1.5V

因U＝1.5V已超出電壓表量程，所以假設(shè)不成立，應(yīng)是電壓表滿(mǎn)偏，即U＝1.0V，此時(shí)電流表的讀數(shù)I=U/R=2.0V

(2)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

棒勻速運(yùn)動(dòng)，外力F＝F安＝BLI

解得：F＝1.6N

(3)將棒的滑動(dòng)過(guò)程分為若干很短的時(shí)間，△t時(shí)段內(nèi)可認(rèn)為棒中電流不變，則通過(guò)電阻R的電量為：

解得：Q=mvI/F=0.25C

方法指導(dǎo) 此題采用了微元法。微元法是將那些隨時(shí)間或位移變化的物理量的變化過(guò)程分成若干個(gè)微小過(guò)程，而在這些微小過(guò)程中，變化的物理量可視為恒定，由此求出其隨時(shí)間或位移的積累效應(yīng)。如變力做功中化“變力”為“恒力”后用W＝FScosα來(lái)求解。判定誰(shuí)是合速度、誰(shuí)是分速度(取一個(gè)很小的Δt考察)、在安培力的作用下通電導(dǎo)線(xiàn)(環(huán))在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況的判定等都可用微元法來(lái)處理。微元法是中學(xué)物理中一個(gè)處理問(wèn)題的重要方法，在近年高考考查中頻頻出現(xiàn)。

4 數(shù)學(xué)歸納法

在解決某些具體問(wèn)題時(shí)，常從特殊情況出發(fā)，類(lèi)推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的。

例4 光滑水平面上停放一個(gè)木箱和小車(chē)，木箱質(zhì)量為m，小車(chē)和人總質(zhì)量為M，M∶m＝4∶1。人以速度v沿水平方向?qū)⒛鞠渫瞥觯鞠浔粨醢逡栽俜磸椈貋?lái)以后，人接住木箱再以同樣大小的速度v第二次推出木箱，木箱又被原速反彈……問(wèn)人最多能推幾次木箱?

解析 選木箱、人和小車(chē)組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，取向右為正方向。設(shè)第n次推出木箱后人與小車(chē)的速度為vn，第n次接住后速度為vn′，則由動(dòng)量守恒定律可知：

第一次推出后有：0＝Mv1-mv

則v1＝mv/M

第一次接住后有：Mv1+mv＝(M+m)v1′

第二次推出后有：(M+m) v1′＝M v2-mv

則v2＝3mv/M

第二次接住后有：Mv2+mv＝(M+m) v2′

……

第n-1次接住：

Mvn-1+mv＝(M+m) vn-1′

第n次推出：(M+m) vn-1′＝Mvn-mv

即vn＝(2n-1) mv/M

設(shè)最多能推n次，推出后有

vn≥v，vn-1＜v

即(2n-1) mv/M≥v， 且

［2 (n-1) -1］mv/M＜v

所以2.5≤n＜3.5

因n取整數(shù)，故n=3

方法指導(dǎo) 本題的解法首先利用了數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出了速度的通式，然后結(jié)合條件進(jìn)行討論得出結(jié)論。顯然在這時(shí)數(shù)學(xué)歸納法起著舉足輕重的作用。

5 極值法

數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問(wèn)題的討論中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等。

例5 如圖所示，一個(gè)阻值為5Ω的電燈與一最大阻值為10Ω的滑動(dòng)變阻器串聯(lián)后接到電壓為2V的電源上(電源內(nèi)阻不計(jì))。求：當(dāng)滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值是多大時(shí)，滑動(dòng)變阻器消耗的功率為最大，其值是多少?

解析 設(shè)滑動(dòng)變阻器消耗的功率為P，連入電路的電阻值為R，則消耗的功率為：

P＝I2R＝［E/(R0+R)］2/R

＝［2/(5+R)］2/R

整理得到一個(gè)關(guān)于R的一元二次方程：

PR2+(10P一4)R+25P＝0

由于R為實(shí)數(shù)，所以上述方程中Δ≥0，即

Δ＝(10P一4)2-4P×25P

＝16-80P≥0

解得P≤0.2W，故消耗的最大功率為0.2 W，此時(shí)滑動(dòng)變阻器連入電路的電阻為5Ω。

方法指導(dǎo) 該題的數(shù)學(xué)方程方法較好，利用了一元二次方程的判別式。

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