微元法——一種基本的物理數學方法

摘 要：本文闡述了微元法，及其從微元的角度去理解一些物理概念、定義，概括出適用于微元法求解的兩大類題目，并點明了用微元法解題的一般思路及注意點。

關鍵詞：微元；對象；求和

中圖分類號：G633.7

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6148(2007)11(X)-0004-4

微元法是解決物理問題的基本思想方法，它貫穿于高中階段的物理知識體系，滲透于一些物理概念、公式中。取微元作為研究對象，可準確地描述變化的物理過程中瞬間狀態，微元再求和更是解決物理過程中變量積累問題的重要方法，也是高考命題熱點。

1 物理概念中滲透微元法的基本思想

平均速度只是粗略地描述物體運動快慢，要準確的描述物體運動快慢，應該用瞬時速度。課本中瞬時速度定義是：運動物體在某時刻(某一位置)的速度，可進一步理解為：平均速度=st中，當時間非常短接近于零，表示某一瞬時，或位移非常小，表示某一點的速度。這里時間非常短，或位移非常小，已滲入了取時間微元或位移微元的思想。勻速直線運動指：任何相等的時間內位移相等。這里“任何相等的時間”也包含了很短的時間微元，當然也可取較長的時間段。但若把“任何相等的時間”取為彼此相鄰或相隔一定時間間距的較長時間段時，這種情況下若位移相等，就不一定做勻速直線運動了。當“任何相等時間”取為很短的時間微元時，不管各時間微元之間間距如何，只要在此內位移相等，也就是瞬時速度相等，那么就一定是勻速直線運動，從這個角度來講，用微元法來描述勻速直線運動更加直接，當然也可以取位移微元來研究。同樣地描述物體運動狀態改變時，加速度a=ΔvΔt，若t取得較長，a只是這段時間內的平均加速度，只能粗略地描述速度變化的快慢，只有當t取很小的時間微元時，才能反映出各時刻速度的變化，即瞬時加速度。在實際應用中，如火箭發射升空、衛星返回，往往是非勻變速運動，工程技術人員要掌握和控制的是瞬時速度、瞬時加速度才有意義。另外瞬時功率，瞬時沖量等也是如此。在電磁感應中，閉合線圈中的感應電動勢ε=nΔφΔt，當t取得較長時，ε是該段時間內的平均感應電動勢，當t取為很小的時間微元時，才準確反映某一時刻的感應電動勢。所以要描述某些變化過程中的物理量，取時間微元或位移微元來定義或研究，會更加準確、透徹。

2 微元法在解題中的應用

2.1 以微元為研究對象

對于連續變化過程中要求解任意點的某個量，而變化過程沒有明確的起始點和終點，或所求點與起始點和終點不能用公式相互聯系起來，以全過程為研究對象無濟于所求問題，取微元為研究對象時又能找到該微元上各物理量之間的聯系，這類問題就要考慮選取微元為研究對象。

例1 如圖1所示，汽車以速度v勻速行駛，當汽車到達P點時，繩子與水平方向的夾角為θ，此時物體m的速度大小為多少?

例2 一艘帆船在靜水中由于風力的推動做勻速直線運動，帆面的面積為S，風速為v1，船速為v2(v2

析與解 風吹帆面是一個連續的過程，而且題意中每時每刻情況相同，無法取全過程，顯然只能用微元法。如圖3所示，取吹到帆面上的空氣微元體為研究對象，選帆面為參照物，則經時間t后，微元體速度由v1-v2變為零，空氣微元體的質量為：

根據牛頓第三定律可知，帆面受到的平均風力在數值上等于空氣微元體受到作用力為F。

例3 如圖4所示，質量均勻分布的細圓環均勻帶電，總電量為Q，圓環半徑為R，質量為m，把該環平放在絕緣光滑的水平面上，勻強磁場的磁感應強度為B，方向豎直向下。當該環繞通過環心的豎直軸以角速度ω順時針旋轉時，環中張力多大?

析與解 該環上每一點的運動情況都相同，各點受力情況也相同，取整個環為研究對象顯然求不出環內張力，只能用微元法。在環上截取弧長很短的一段L圓弧作為微元，其對應的圓心角為θ，其質量Δm=m2πRΔL，其電量Δq=Q2πRΔL。對這一小段圓弧作受力分析：

洛侖茲力f沿θ的角平分線向外，環內張力T沿微元左右兩點的切線方向，T在f反方向的分力為TsinΔθ2。

這一小段圓弧做勻速周運動，根據牛頓第二定律有：

注意 θ很小時三角函數中的近似公式sinθ≈θ，tanθ≈θ在微元法中常用。

2.2 取微元為研究對象再求和

功是力在位移上的積累，沖量是力對時間的積累，位移是速度在時間上對時間的積累，電量是電流對時間的積累，一些習題中常需要求解一個變化量對另一個量的積累。如非勻速運動的位移，變力做功，非恒定電流流過導體中的電量等。解這類問題需要具體問題具體分析，微元法是基本方法之一。取微元，再結合微元的物理意義，運用數學工具，特別是運用圖象面積求得微元之和。運用該方法在解題中破解難點，找到捷徑常常十分有效。

例4 如圖5所示，質量為m的動力小車以恒定的速度v沿半徑為R的豎直圓軌道運動。已知小車與軌道間動摩擦因數為μ，則小車從軌道最底點運動到最高點的過程中摩擦力所做的功為多少?

析與解 這是一個變力做功問題，不能直接用功的計算公式求解，常用方法有：動能定理、功能原理和圖象法。分析該題已知條件可知，用前兩種方法無法解決。考慮先求得功微元再對這些微元求和。小車運動到某一位置時的受力情況如圖6。小車與軌道間的滑動摩擦力f=μN，小車做勻速圓周運動所需的向心力由軌道的支持力與小車重力沿半徑方向的分力的合力提供，即：

例5 (06年江蘇高考)如圖8所示，頂角θ=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中，一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導軌MON向右運動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r。導體棒與導軌的接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸。t=0時，導體棒位于頂角O處，若在t0時刻將外力撤去，求導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x。

析與解 審題可知，導體棒的速度在不斷變化，導體棒的有效長度也在不斷變化，受力在變化，導體棒做變加速運動，用牛頓力學結合運動學求位移顯然不行。能否通過求面積來求得位移呢?求面積自然想到取微元再求和。取足夠短的時間微元t，在t內導體棒的運動當作勻速運動處理，同時將微元過程導體棒的有效長度、回路中的電動勢、電阻、電流等均視為一定，把微元過程回路變化的梯形面積視為矩形面積，再對這些矩形元求和。

取導體棒滑行時間t的微元過程，由動量定理得：

本題還可以用動能定理、能量守恒定律等求解，但基本思想方法都是取微元求和。

在用微元法求解過程中，要能洞察物理量之間的聯系，如It→q，vt→x，xx→S，Rθ→L，使式子向題中所求的結論或結果方向組合，而這點往往是整個題中的難點所在。同時對取微元后涉及到的物理量變與不變要有辯證的理解，如勻變速直線運動中，在時間微元t內可認為速度是不變的，但位移是變化的，如求非恒定電流的電量時，在時間微元t內可認為電流是不變的，但電量是變化的等。

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