兩種解法妙在何處

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是高中物理的重要組成部分，也是解決力學(xué)問題十分有效的方法之一。特別是當(dāng)問題涉及到兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的物體不在同一直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，許多同學(xué)對(duì)此感到力不從心，無法下手。筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出兩種行之有效的方法，現(xiàn)以一道習(xí)題加以說明這兩種解法的奧妙之處。

例題 如圖1所示，質(zhì)量均為m的A、B兩環(huán)，用一條長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.4m的細(xì)繩相連后，分別套在光滑的水平細(xì)桿OP和光滑的豎直細(xì)桿OQ上。現(xiàn)將細(xì)繩拉直使環(huán)A和B從同一高度由靜止釋放，當(dāng)A、B兩環(huán)運(yùn)動(dòng)到使細(xì)繩與水平細(xì)桿OP成θ=30°角時(shí)，試求此時(shí)A、B兩環(huán)的速度大小。

分析 A、B兩環(huán)組成的系統(tǒng)遵守能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律，即A環(huán)減少的重力勢(shì)能等于A、B兩環(huán)增加的動(dòng)能。欲求A環(huán)和B環(huán)的速度大小vA和vB，還應(yīng)明確vA和vB之間的定量關(guān)系，而這一關(guān)系的確立對(duì)解決本題至關(guān)重要。具體解法如圖2所示，A環(huán)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向沿OQ桿豎直向下，即A環(huán)的合速度vA的方向是豎直向下的，將vA沿著繩和垂直于繩兩個(gè)方向進(jìn)行分解，可得A環(huán)沿細(xì)繩方向的分速度v繩=vAsinθ;同理可將B環(huán)的速度分解得v′繩=vBcosθ，由于細(xì)繩不可伸長(zhǎng)，故v繩=v′繩，即vAsinθ=vBcosθ，上式變形得：vB=vAtanθ①

再對(duì)A、B兩環(huán)所組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律列方程得：

由①②兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：

該解法的巧妙之處在于成功地利用了A環(huán)和B環(huán)同時(shí)參與沿細(xì)繩方向上的分運(yùn)動(dòng)，該方向上的分速度相等，從而確立了vA和vB之間的定量關(guān)系，為正確解題作了良好的鋪墊。

解法2 導(dǎo)數(shù)法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱已將導(dǎo)數(shù)列為高考考查范圍，事實(shí)上有很多物理問題可以用導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以解決。象本題所涉及到的速度，從導(dǎo)數(shù)的角度來定義：速度等于位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。本人在教學(xué)過程中經(jīng)常滲透這種數(shù)學(xué)思想，收到了良好的教學(xué)效果，現(xiàn)將該解法介紹如下：

如圖3所示，從兩環(huán)開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)繩與水平方向成任意夾角α?xí)r，設(shè)A環(huán)發(fā)生的位移為y，B環(huán)發(fā)生的位移為x，則

根據(jù)速度的定義，則

通過這種解法的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力，極大地拓寬了學(xué)生的思維，既符合高考的要求，又豐富了物理問題的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”