兩種解法妙在何處

運動的合成與分解是高中物理的重要組成部分，也是解決力學問題十分有效的方法之一。特別是當問題涉及到兩個相互關聯的物體不在同一直線上運動時，許多同學對此感到力不從心，無法下手。筆者在教學實踐中總結出兩種行之有效的方法，現以一道習題加以說明這兩種解法的奧妙之處。

例題 如圖1所示，質量均為m的A、B兩環，用一條長為L=0.4m的細繩相連后，分別套在光滑的水平細桿OP和光滑的豎直細桿OQ上。現將細繩拉直使環A和B從同一高度由靜止釋放，當A、B兩環運動到使細繩與水平細桿OP成θ=30°角時，試求此時A、B兩環的速度大小。

分析 A、B兩環組成的系統遵守能量的轉化和守恒定律，即A環減少的重力勢能等于A、B兩環增加的動能。欲求A環和B環的速度大小vA和vB，還應明確vA和vB之間的定量關系，而這一關系的確立對解決本題至關重要。具體解法如圖2所示，A環的實際運動方向沿OQ桿豎直向下，即A環的合速度vA的方向是豎直向下的，將vA沿著繩和垂直于繩兩個方向進行分解，可得A環沿細繩方向的分速度v繩=vAsinθ;同理可將B環的速度分解得v′繩=vBcosθ，由于細繩不可伸長，故v繩=v′繩，即vAsinθ=vBcosθ，上式變形得：vB=vAtanθ①

再對A、B兩環所組成的系統應用機械能守恒定律列方程得：

由①②兩式聯立并代入數據得：

該解法的巧妙之處在于成功地利用了A環和B環同時參與沿細繩方向上的分運動，該方向上的分速度相等，從而確立了vA和vB之間的定量關系，為正確解題作了良好的鋪墊。

解法2 導數法

高中數學教學大綱已將導數列為高考考查范圍，事實上有很多物理問題可以用導數知識加以解決。象本題所涉及到的速度，從導數的角度來定義：速度等于位移對時間的導數。本人在教學過程中經常滲透這種數學思想，收到了良好的教學效果，現將該解法介紹如下：

如圖3所示，從兩環開始運動到細繩與水平方向成任意夾角α時，設A環發生的位移為y，B環發生的位移為x，則

根據速度的定義，則

通過這種解法的訓練，可以培養學生應用數學知識解決物理問題的能力，極大地拓寬了學生的思維，既符合高考的要求，又豐富了物理問題的數學內涵。

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