巧用“動態圓”處理帶電粒子在磁場中的運動問題

處理帶電粒子在勻強磁場中的運動問題，一種重要的方法是作圖法:作出粒子的運動軌跡，找到它的圓心，再由平面幾何的知識列出幾何關系的方程。而當粒子在磁場中運動的方向可變時，運用作“動態圓”的方法可以較快的解決問題。下面通過幾道例題的分析來說明這種方法的運用。

例1 (2005年全國理綜高考第20題)如圖1所示，在一塊水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場方向垂直紙面向里。許多質量為m，帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向，由小孔O射入磁場區域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其中R=mvBq。哪個圖是正確的?

解析 因為帶電粒子的速率方向可變，所以它們在磁場中的運動軌跡是通過O點的一系列圓弧。如圖2所示，陰影部分即為帶電粒子可能出現的區域。故正確答案為A。

例2 紙面內水平線MN的下方存在垂直于紙面向里的磁感應強度為B的勻強磁場。在MN線上某點O的正下方與O點相距為L的質子源S，可在紙面內360°范圍內發射質量為m、電量為e、速度為v=BeL/m的質子，如圖所示。質子的重力不計。試畫出MN線下方有質子出現的區域。

解析 質子作圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，即:evB=mv2r，所以質子作圓周運動的半徑為:r=mveB=meB·eBLm=L。因質子源可在紙面內360°范圍內發射，所有軌跡都應通過S點，所以這些軌跡圓弧的圓心均在圓周a上。以圓弧a上的一系列點為圓心作出一系列圓弧，這些圓弧與MN的交點離O點最遠為A點和B點，這些圓弧過S點的直徑的另一端的連線為實線圓弧AdC，圓弧BcC為另一邊界線.所以質子可能出現的區域如圖中陰影部分所示。

例3 在真空中半徑r=3cm的圓形區域內有一勻強磁場，磁場的磁感應強度B=0.2T，方向如圖5所示。一帶負電的粒子以初速度v0=3.0×105m/s，從磁場邊界上直徑的一端a向著各個方向射入磁場，且速度方向與磁場方向垂直。已知粒子的比荷q/m=1.0×108C/kg，不計重力。試畫出粒子在磁場中可能出現的區域。

解析 粒子在磁場中作圓周運動的向心力由洛侖茲力提供:qvB=mv2r，所以粒子作圓周運動的半徑為:r=mvqB=1.5cm。它們的運動軌跡為過O點的一系列半徑r=1.5cm的圓弧，圓弧acO為最上面的邊界線，將過O點的一系列軌跡圓弧的直徑的另一端連接起來，得到另一條邊界線為圓弧Od。所以粒子在磁場中可能出現的區域為圖6中的陰影部分。

另外，以上各題中還可根據具體條件求出陰影部分的面積。

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