天體、衛(wèi)星運動問題處理方法及題型探秘

天體、衛(wèi)星的實際軌道是橢圓而不是圓，遵循開普勒三定律。在近似計算中認為，行星繞恒星或衛(wèi)星繞行星運轉(zhuǎn)的軌道近似為圓。該部分題型多，牽涉到的知識點較廣，綜合性也較強，對其分析總結(jié)基本思路及處理方法，對題型進行必要的探秘，能使學(xué)生的學(xué)習(xí)起到事半功倍的效果。

1 基本思路及處理方法

基本思路：1、天體、行星的運動看成是勻速圓周運動；2、萬有引力提供向心力。

處理方法：萬有引力與天體、行星運動的問題涉及的關(guān)系較多，例如周期、角速度、質(zhì)量、密度、重力加速度等。雖然題目千變?nèi)f化，但是有一點是相同的，即萬有引力作為向心力。因此有關(guān)天體、衛(wèi)星運動的題目，都可以處理成勻速圓周運動的模型，根據(jù)萬有引力等于向心力結(jié)合不同的運動學(xué)關(guān)系式推導(dǎo)即可。

此外在做題時要抓住“題眼”，比如題目要求重力加速度，則自然想到萬有引力等于重力。題目要求行星、衛(wèi)星的周期，則自然想到萬有引力等于向心力的公式選用含有周期的形式，這樣可以快速找到思路做答。在解答過程中若遇到萬有引力常量G沒有告訴時利用GM=gR2來做常數(shù)代換。

2 題型探秘

遇到天體做橢圓運動時求周期、線速度等的定量計算問題，因橢圓運動不滿足萬有引力等于向心力的規(guī)律，只能用開普勒定律求解。

題型1 對開普勒行星運動三定律的考查

例1 1970年4月24日我國發(fā)射了第一顆人造衛(wèi)星，其近地點是h1=439km高度，遠地點h2=2384km高度，則近地點與遠地點衛(wèi)星運動速率之比 =____________(已知R地=6400km，用h1、h2、R地表示，不計算)。

題型2 對萬有引力定律的理解

1、萬有引力公式適用于兩質(zhì)點間的引力大小的計算。

2、對于可視為質(zhì)點的物體間的引力的求解也可以利用萬有引力公式，如兩物體距離遠大于物體本身大小時，物體可看作質(zhì)點；質(zhì)量分布均勻形狀規(guī)則的物體質(zhì)量可看作集中于物體的重心。

3、當研究物體不能看成質(zhì)點時，可以把物體假想分割成無數(shù)個質(zhì)點，求出兩個物體上每個質(zhì)點與另一個物體上所有質(zhì)點的萬有引力，然后求合力。例如將物體放在地球的球心時，由于物體各方受到相互對稱的萬有引力，故合外力為零，即放在地心的物體受地球的萬有引力為零。

4、應(yīng)用萬有引力定律求力時，一定要注意物體質(zhì)量變化時，兩物體間的間距是否也發(fā)生變化？

例2 兩大小相同的實心小鐵球緊靠在一起時，它們之間的萬有引力為F。若兩個半徑為實心小鐵球2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為( )

A．2F

B．4F

C．8F

D．16F

解析 小鐵球之間的萬有引力

大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，其質(zhì)量如下，

兩個大球間的萬有引力為

題型3 萬有引力定律的應(yīng)用

求解天體的質(zhì)量，我們只能求中心天體的質(zhì)量，找一個繞行體，只要知道繞行體的線速度、角速度、周期中的一個量及其軌道半徑，即可求中心天體的質(zhì)量。

例3 利用下列哪組數(shù)據(jù)，可計算出地球的質(zhì)量( )

A．已知地球半徑R和地面的重力加速度g

B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和周期T

C．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度v

D．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的線速度v和周期T

解析 選項A：設(shè)相對地面靜止的某一物體的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力等于重力的關(guān)系得

GM地mR地2=mg，解得M地=gR地2G

選項B：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mr4π2T2，解得M地=4π2r3GT2

選項C：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mv2r，解得M地=rv2G

選項D：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mr4π2T2

GM地mr2=mv2r

以上兩式消去r解得 M地=v3T2πG

縱上所述，該題的四個選項都是正確的。

題型4 萬有引力定律與拋體運動知識相聯(lián)系

在其它星球表面上的拋體運動與在地球上的遵循相同的運動規(guī)律，惟一不同的是兩處的重力加速度不一樣。對于萬有引力與拋體運動相結(jié)合的題目，關(guān)鍵切入點為拋體運動的加速度就是天體表面的重力加速度。

例4 宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的水平距離為3L。已知兩落地點在同一水平面上。該星球的半徑為R，萬有引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M。

解析 如圖所示，設(shè)拋出點的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有

x2+h2=L2①

由平拋運動規(guī)律可知。當拋出的初速度增大到原來2倍時，則水平射程應(yīng)增大到2x，可得

(2x)2+h2=(3L)2②

由①②解得： h=33L

設(shè)該星球表面的重力加速度為g，由平拋規(guī)律可得

題型5 衛(wèi)星變軌問題

人造衛(wèi)星在軌道變換時，有衛(wèi)星主動原因也有其它原因(如受到阻力)，速度發(fā)生變化，導(dǎo)致萬有引力與向心力相等關(guān)系被破壞，繼而發(fā)生向心運動或者離心運動，發(fā)生變軌。

例5 某人造衛(wèi)星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓。由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地的距離從r1慢慢變到r2，Ek1、Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，則( )

A．r1＜r2，Ek1＜Ek2

B．r1＞r2，Ek1＜Ek2

C．r1＜r2，Ek1＞Ek2

D．r1＞r2，Ek1＞Ek2

解析 假設(shè)衛(wèi)星受阻力仍在原軌道上運動，則速度一定減小，那么就會有在原軌道上受到的萬有引力大于向心力而做向心運動使其半徑減小，在向心運動的過程中衛(wèi)星高度降低，萬有引力做正功使其速度增大(或因r1＞r2，由v=GMr知變軌后衛(wèi)星速度變大)，動能變大，Ek1＜Ek2。所以選B。

題型6 人造衛(wèi)星的運行規(guī)律

人造衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關(guān)系

例6 假如一顆做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做勻速圓周運動，則( )

A．根據(jù)公式v=ωr可知，衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的2倍

B．根據(jù)公式F=mv2r可知，衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的12

C．根據(jù)公式F=GMmr2可知，地球提供的向心力將減小到原來的14

D．根據(jù)上述B項和C項給出的公式，可知衛(wèi)星運動的線速度將減小到原來的22

解析 半徑增大2倍，線速度也隨之增大2倍的結(jié)論是在角速度不變的情況下才有的。由

GMmr2=mω2r得ω=GMr3，可知當衛(wèi)星的軌道半徑增大時，其繞行的角速度將減小，所以不能得出衛(wèi)星的線速將隨之增大的結(jié)論。

由GMmr2=mv2r可得衛(wèi)星線速度v=GMr，由此式可知，當衛(wèi)星的軌道半徑增大2倍時，衛(wèi)星的線速度減小，變?yōu)樵瓉淼?2。所以選項A是錯誤的，選項D是正確的。

由于在衛(wèi)星半徑變化的同時，衛(wèi)星的線速度也發(fā)生了變化。所以不能直接由F=mv2r得出向心力減小到原來的12這一結(jié)論。又因為是地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供了衛(wèi)星所需的向心力，所以由F=GMmr2來判斷向心力的變化比較方便，由此可知向心力將減小到原來的14。所以B選項錯，C選項正確。

題型7 考查宇宙速度

近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度v=GMR地=gR地=7.9km/s，通常稱為第一宇宙速度，它是發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度，是地球周圍所有衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。

例7 關(guān)于人造衛(wèi)星和第一宇宙速度，下列說法正確的是( )

①第一宇宙速度是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度

②第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星所需的最小速度

③衛(wèi)星離地面越高，運動速度越大，周期越小

④同一軌道上的人造衛(wèi)星，質(zhì)量越大，向心加速度越大

A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

解析 第一宇宙速度是所有地球衛(wèi)星的最大繞行速度，是最小發(fā)射速度。衛(wèi)星離地面越高，繞行運動速度越小，周期越大，同一軌道上的衛(wèi)星其向心加速度a=GMr2與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，綜上所述只有A項正確。

總結(jié)以上可以看出處理近似圓周運動的天體運動問題，解決關(guān)鍵是把萬有引力定律與勻速圓周運動規(guī)律有機地結(jié)合起來，即GMmr2=mω2r=mv2r=m(2πT)2r，由此演變到各種類型的題目。

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