球與多面體

球有非常完美的對稱性，它有很多性質都可以類比到圓的性質中來研究，但是由于它的圖比較難畫，所以在研究起來又有些抽象，如果再把球與其他的幾何體進行組合，那么它的難度就更大了，而這類題通常在競賽中容易出現. 本文對球與部分多面體組合的一些問題進行了研究，提出了便于研究此類問題的思想與方法，供大家參考.

一、 正方體的內切球與外接球

問題教材［人民教育出版社高中數學第二冊（下）］Ｂ８３頁練習：一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是４ ，求這個球的體積．

延伸（１）正方體的內切球的半徑與正方體的棱長之間有什么關系？

（２）與正方體各棱相切的球的半徑與正方體的棱長之間的關系.

分析研究正方體的棱長于它的內切球、外接球及與棱相切的球的半徑之間的關系，重要的是要找到合適的截面.

為了便于理解正方體與球的關系，我們不妨用一個動畫過程來體現. 首先我們假設正方體的體中心放一個很小的小球，然后讓小球的半徑不斷增大，當它大到一定程度時，就會與正方體的各個面相切，此時小球成為正方體的內切球；然后再增大，小球就會沖破正方體各面，與正方體的各條棱相切；小球半徑繼續增大，最終只有正方體的八個頂點在球的表面上，小球成為正方體的外接球. （如圖）

解設正方體棱長為a ，內切球半徑為R內 ，與棱相切的球的半徑為R棱 ，外接球半徑為 R外 .圖１－１為球與正方體各面相切，截面為經過上下底面中心及兩個相對側面的中心的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知， R內 =a.

圖１－２為球與各棱相切，截面為經過正方體體中心及四條相對棱的中點的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知 R棱 = a .

圖１－３為正方體的八個頂點在球的表面上，截面為經過正方體對角線的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知R外 = a .

二 、 正四面體的內切球與外接球

問題正四面體棱長為 a，求其內切球和外接球的半徑．

分析如圖2-1，正四面體可以看作是一個正方體切去四個角而得到的，根據球與正方體的關系以及正四面體本身的對稱性，可以知道正四面體的內切球與外接球的球心重合，即為原正方體的體中心．

通過一個動畫過程如圖2-2來研究，在正方體的體中心放一個小球，小球半徑不斷增大，大到一定程度時先與正四面體的各面相切，再繼續增大，之后就會和正四面體的各棱相切；小球繼續增大，最后正方體的各頂點在球的表面上，此時小球既是正方體的外接球也是正四面體的外接球. 由此，我們很容易由正方體的外接球半徑進而得到正四面體的半徑. 再根據正四面體的高和一條斜高所確定的截面圖形及三角形相似可得內切球半徑.

作好本題的重點就是選好截面，找到內切球和外接球的半徑與棱長的關系．

對于一般的三棱錐就沒有這樣的性質了，但對于正棱錐來說，他們的內切球與外接球的球心雖然不重合，但它們都在高線上，我們仍然可以選擇軸截面來研究他們．

另外，我們在求正四面體的內切球半徑時，還可以用分割體積法來求. 而此法更不失一般性，多數多面體都可以用這種辦法來求其內切球半徑.

簡解設正方體棱長為 b，正四面體棱長為a，正四面體內切球半徑為 R內，外接球半徑為 R外.

解法一由于正方體的外接球與正四面體外接球是同一球，所以R外 = b ，而a = b ，所以R外 = a，而正四面體的高為 a，所以R內 = a- a =a .

解法二 正四面體的內切球球心與各頂點連線，把整個正四面體分成四個小三棱錐．所以正四面體的體積等于四個小三棱錐的體積之和，而每個小三棱錐的高為內切球半徑，底面為正四面體的一個面，所以有V正四面體

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”