分部積分法的使用要點(diǎn)與技巧

分部積分法是一種重要的積分方法，盡管該公式形式上簡(jiǎn)潔：∫udv=uv-∫vdu，但是學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)（或復(fù)習(xí)）時(shí)，對(duì)其使用并不熟練，特別是需要專(zhuān)升本的成人考生，解題的技巧表現(xiàn)得更生硬。下面談一下分部積分法的使用要點(diǎn)與技巧。

一、使用分部積分法的基本條件

當(dāng)被積函數(shù)是多項(xiàng)式（或冪）、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角及反三角這幾類(lèi)初等函數(shù)中的某兩類(lèi)函數(shù)乘積形式時(shí)，應(yīng)使用分部積分法，如∫x·arctanx·dx、

顯然，經(jīng)過(guò)分部積分后所得的新積分式比原積分式復(fù)雜了，這種做法不正確。

在分部積分中，我們確定u有以下的優(yōu)先規(guī)律：

對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù) →多項(xiàng)式（或冪）函數(shù) →指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)（主要指sinkx和coskx）

具體地說(shuō)，我們是按照以下步驟確定u的：

（1）先看被積函數(shù)中是否含有對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)中的一種，若有的話(huà)就確定做u。（須指出：在我們現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)課本上，關(guān)于計(jì)算積分題目中的被積函數(shù)，不可能是“對(duì)數(shù)函數(shù)×反三角函數(shù)”的形式。）

（2）如果被積函數(shù)中不含有上述兩種函數(shù)中的一種，再看有沒(méi)有多項(xiàng)式函數(shù)（或冪函數(shù)），若有的話(huà)確定為u。

（3）如果被積函數(shù)中未含有上述三種函數(shù)，那么，一定是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的形式（若不然，沒(méi)必要使用分部積分法！）。這時(shí)，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都可以確定為u。

三、計(jì)算分部積分時(shí)的幾種可能情景

那些相對(duì)簡(jiǎn)單點(diǎn)的題目，經(jīng)過(guò)使用一次分部積分即可解決問(wèn)題。如：

∫xcosx·dx=∫x·d(sinx)=xsinx－∫sinx·dx=xsinx+cosx+C。

可是，更多的題目?jī)H使用一次是不夠的，往往需要使用兩次或多次的分部積分，甚至還需配合其它手法才能解決問(wèn)題。一般可有以下幾種情景：

1. 多次使用分部積分

2. 解一個(gè)關(guān)于原積分式的方程。

如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)（sinkx或coskx）的乘積形式，那么計(jì)算該題需要兩次分部積分，并且經(jīng)過(guò)兩次分部積分后會(huì)得到一個(gè)關(guān)于原積分式的方程。這時(shí)只需解這個(gè)方程即可。須強(qiáng)調(diào)的是，第二次分部積分時(shí)選取的u要與第一次選取的u為同一類(lèi)函數(shù)。

四、定積分的分部積分計(jì)算

定積分的分部積分計(jì)算公式與不定積分相比多了上下限。上面看到：用分部積分法計(jì)算不定積分時(shí)，有的需要多次使用分部積分，也有時(shí)須解一個(gè)關(guān)于原積分式的方程等。當(dāng)帶上上、下限時(shí)，在解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)上顯得很麻煩。筆者建議在計(jì)算定積分時(shí)先計(jì)算與這個(gè)題相應(yīng)的不定積分，當(dāng)?shù)贸鲆粋€(gè)原函數(shù)以后再代入上下限，以減少做題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)量，還可避免因?yàn)槁?xiě)上下限而造成無(wú)謂的錯(cuò)誤。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”