空腔導體內外兩個點電荷之間的相互作用探析

摘要：根據靜電場邊值問題的唯一性定理、高斯定理等，對在空腔導體內外的兩個點電荷q1和q2之間的相互作用分析得出，它們之間的相互作用力不為零，仍服從庫侖定律。

關鍵詞：靜電場；高斯定理；電荷；場強；庫侖定律

一、問題的提出

如圖一所示，有一閉合的金屬空腔，q1、q2是位于該閉合空腔內外的兩個點電荷。有人認為因金屬導體空腔有靜電屏蔽作用，所以q1和q2的相互作用力為零。筆者認為這種認識是錯誤的。本文就來具體分析這個問題。

二、原因分析

1. 靜電場邊值問題的唯一性定理

所謂靜電場的邊值，就是指確定一個區域中的電場所需要的條件，若一個區域內的電荷分布給定，要完全確定該區域內的電場分布還需要一組邊界條件。所謂邊界就是包圍區域的曲面，區域中有導體存在時可以把導體表面視為邊界。在靜電屏蔽問題中，討論空腔內區域中的電場分布時，導體空腔的內表面就是邊界；討論空腔外區域中的電場分布時，導體空腔的外表面及無限遠處就是邊界。在實際問題中，靜電場的建立總是與導體分不開，我們或者讓各導體與電源連接，給導體以恒定的電位；或者先將它們與電源連接，對各導體充一定的電量再與電源斷開。因此實際問題中為了確定電場所需要的條件可以概括為下列三種類型：(1) 給定各個導體的電位Ui；(2) 給定各個導體上的總電荷Qi；(3) 在某區域內，一部分導體給定各個導體上的電位，另一部分導體給定各個導體的總電荷．

這三種類型的問題都是在一定的邊界條件下求解靜電場的問題。三類問題的邊界條件各不相同，在第一類問題中，由于導體已被充電達到一定的電位，Ui=恒量，而在無限遠處U∞＝0 ；在第二類問題中，由于各個導體總電荷已知，根據高斯定理，應有Qi=?著?蒽E·ds=-?著?蒽?犖U·ds，式中S是緊包導體的外表面的閉合面，此外在無限處也有U∞＝0；在第三類問題中，邊界條件應為①r→∞時，U∞=0 ，②在一部分導體上U=恒量，③在另一部分導體上，緊包每個導體表面有-?著?蒽?犖U·ds＝Qi.可以證明(因涉及數學問題較多，這里不證)若已知某區域內的電荷分布，在給定邊界條件下，所確定的空間電場強度是唯一的。這一結論，就叫做靜電場的唯一性定理。靜電場的唯一性定理，指出了唯一決定靜電場的因素是什么，指明了求解靜電場的方向。

2. 腔外電荷(包括腔外帶電體的電荷ｑ3及腔外表面的電荷ｑ4)在腔內激發的電場的荷場強為零

這個結論即E＝E+E＝0.這個結論可以利用靜電場的唯一性定理解釋如下：因所討論的區域的電場是腔內外表面封閉區域中的電場，這個區域內的電荷分布已經給定，區域的邊界是空腔的內表面，若導體空腔接地，則邊界上電位處處為零，屬于第一種類型的邊值問題。根據唯一性定理，腔內電場唯一確定且與腔外電荷無關，不管腔外電荷的分布怎樣變化，都不影響腔內的電場，在靜電平衡時腔內的電場只有唯一的一種分布。若空腔導體不接地，導體空腔的電位不等于零，但這時導體空腔所帶電量一定，屬于第二種類型的邊值問題。根據靜電場的唯一性定理可知，腔內電場也唯一被確定，仍與腔外電荷無關。也就是說，不論屬于哪一類邊值問題，腔外電荷在腔內產生的荷場強都為零。即得 E＝E+E＝0. 但此時腔外帶電體的電荷q3，單獨在腔內激發的場的場強并不為零，所以在圖一中ｑ2對ｑ1的作用力并不為零。

3. 腔內電荷(包括腔內帶電體的電荷ｑ1和腔外表面的電荷ｑ2)在腔外激發的電場的荷場強為零

這個結論即 E＝E+E＝0.這個結論也可以由靜電場的唯一性定理解釋如下：在此情況下，區域的邊界是導體空腔的外表面及無限遠處，邊界條件是已知腔外表面的總電荷及無限遠處U∞=0，且區域內的電荷分布已知。根據靜電場的唯一性定理可知，腔外區域的電場被唯一確定，即腔外的電場分布與腔內電荷分布無關。腔外電場是由腔外表面的電荷ｑ4和腔外帶電體的電荷q3所決定的。但必須明確，腔外表面的電荷應包括腔外表面原來所帶的電荷和腔內電荷因靜電感應在腔外表面產生的感應電荷。

腔內電荷對腔外的電場影響是間接的，因腔內的電荷存在產生了感應電荷，從而對腔外電場產生影響，又因腔外電場與腔內電荷無關，所以影響是間接的。對這一個問題的兩個側面都不能忽視，若忽視了腔外電場分布與腔內電荷分布無關這一側面，就會得出“當腔內電荷移動但不與腔內壁接觸時，會改變腔外電場”這樣的錯誤結論；若忽視了腔內電荷對腔外電場有直接影響，就會認為腔內電荷對腔外電場無影響。事實上只有導體空腔接地時，腔內電荷才對腔外電場無影響。

綜合上述分析可知，導體空腔無論接地與否，腔內電場都不受腔外電荷的影響，接地的導體空腔，腔外的電場不受腔內電荷的影響，這種現象就是通常所說的靜電屏蔽現象。應當特別指出，腔內帶電體的電荷q1及腔內表面的電荷q2在腔外產生的荷場為零。恰好說明腔內帶電體的電荷在腔外單獨激發的電場的場強不為零。所以圖一中q1對q2的作用力也不為零。可見，圖一所示的空腔內外的兩個點電荷q1和q2的相互作用力并不為零，它們之間的相互作用力仍服從庫侖定律F= .

參考文獻：

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