訂貨問題的一個最優存儲模型

[摘要] 對訂貨問題建立了一個最優存儲數學模型，利用優化理論并結合具體實例進行了求解，確定了保持存貨在一個足夠的水平上，零售商可以接受的一個最優訂貨策略。

[關鍵詞] 存儲模型 訂貨 零售商 批發商

一、訂貨問題及其數學模型

1.問題的背景

在某類商品(比如化妝品）的銷售過程中，化妝品零售商一方面希望從批發商處購買足夠的化妝品，以免過多的顧客在其商店里找不到他們所需要的化妝品;另一方面，零售商也不希望購買太多的化妝品以免造成積壓，也就是說，零售商希望有足夠的存儲以滿足需求，但是僅此而已，不需更多的了。顯然，某些類型的或者某些品牌的化妝品會很暢銷。因此，零售商將會以較快的速度向批發商再次訂購暢銷的化妝品。為了簡明起見，我們將把分析約束于一種類型的化妝品。

2.數學模型的建立及求解

對一種特定類型的化妝品需要考慮下面三類費用:

（1)組織費，記為a，該費用包括諸如有關訂貨的打印文書工作、記錄保持費用等;（2)購買費，記為b元/件(一瓶化妝品）;（3)貯存費，記為c元/件/單位時間，以支付貨物在商店保存的費用。

零售商當然會收集并保存相當長一段時間的銷售記錄數據，此外，為了使建立的數學模型簡明，還需要作下面一些假設:

（1)零售商以一個已知的恒定速率ν連續地銷售其貨物;（2)當零售商從批發商處一次訂購d瓶化妝品時，所有的d瓶化妝品將會在期望的時間同時到達零售商店;（3)選定的某特定類型的化妝品在零售商店里缺貨，零售商是否能容忍?對此，假定兩種變通的情況——缺貨是可以容忍的，或者缺貨是不可容忍的——都是可以的，至于究竟選擇二者中哪一個只是零售商自己決定的個人問題。本文我們假定，缺貨是不容許的;（4)取一個月(30天)作為時間單位。

現在我們就提出一個確定性的商品訂貨問題:對于一種特定類型的化妝品，零售商應該隔多長時間就向批發商去訂購一次貨，每次訂貨多少才能使他在單位時間內的費用最小？

由前面的假設，我們可以建立下面的確定性模型:

(1)訂貨是一個周期事件 零售商從批發商處一次訂購d件，而他期待著以每單位時間ν件的速率向顧客銷售這些商品。因為缺貨是不允許的，所以連續兩次訂貨的時間間隔為d/ν時間單位;也就是說，訂購這一特定類型的化妝品是一個周期事件，其周期為d/ν，以月計。

（2)每單位時間的花費 如果d=0（即不訂購化妝品），則每周期的購買費用是0元，如果d＞0(訂購 瓶化妝品），則購買費用是a+bd元。另外，注意到一個周期內的平均存儲水平為(d+0)/2=d/2瓶，因此相應的貯存費用為每單位時間cd/2元。由于周期長度為d/ν月，所以每個周期的貯存費用為(cd/2)(d/ν)=cd2/2ν元。于是每個周期的總費用為a+bd+cd2/2ν元，而每瓶化妝品的總費用為

（3)d的最小值求使T最小的d*，即求其中ν，a，b，c為已知的正實數。

令f`(d)=0，得惟一駐點。更進一步分析，當時，f(d)是單調減少的，而當時，f(d)是單調增加的。因此，使T最小的，連續兩次訂貨的時間間隔(即最優循環周期)為。

二、數值實例及求解

某商店出售一種全年都有的護膚化妝品，且預期將流行一段足夠長的時間，零售商估計每次訂貨的組織費為20元，每瓶化妝品需花費零售商4.80元加上0.10元的運費。零售商將這種化妝品的貯存費估計為每瓶每月0.83元。（零售商比如可以如下法得到貯存費的估計:以每瓶9.98出售這種護膚品，所以零售商可以認為每個月內每瓶這樣的護膚品對其的價值為9.98/12=0.83元）零售商期待以每月平均100瓶的速率銷售這種護膚品。

1.d*的初步計算 仍采用前面的記號，有a=20元，b=4.80元， c=0.83元，ν=100，所以使得總費用最小的這種護膚品的訂購量為

按照問題的實際情況，有兩個問題必須重新考慮。其一，訂購69.42瓶護膚品是基于假設模型求出的精確理論值，實際情況d必須是整數。其二，按照商業銷售慣例，批發商向零售商出售總是多少瓶一箱件的(比如12瓶一箱、18瓶一箱、24瓶一箱等等）。此處，我們假定零售商可以從批發商處訂購的護膚品是24瓶一箱的。

2.d*的最終計算 注意到當d∈(0.69，42)時，f`(d)＜0，知f(d)是單調減少的，而當d∈(69.42，∞)時，f`(d)＞0，知f(d)是單調增加的。需要再計算f(48)和f(72)，因為48和72是24的倍數中最接近69342的兩個，一個小于它，另一個大于它。計算得f(48)=541.59元/月，f(72)=537.66元/月。于是應訂購d*實＝72這樣的護膚品。最優循環周期t*=d*實/ν=72/100=0.72月，所以零售商訂貨策略是:應間隔21天或22天，訂購72瓶這樣的護膚化妝品。

三、兩點評注

1．建立的模型是確定性的，即一個周期內的需求量是已知道的。如果不是這樣的話，更合適的模型將是隨機的(或概率的)，也就是一個周期內的需求量是一個已知分布的隨機變量。

2.費用函數T=f(d)=νa/d+νb+cd/2。其中a=20，b=4.80，c=0.83，ν=100，也可以利用Matlab強大的繪圖功能畫出總費用函數圖形，從圖中我們可以大致看出在d=69.42附近，函數確實達到了極小值。這種圖形顯示方法有其優越性，在考查函數的極值時可與分析方法結合使用。

參考文獻:

[1]胡運權郭耀煌:運籌學教程[M].北京:清華大學出版社，2003，358-368

[2]姜啟源謝金星葉俊:數學模型[M].北京:高等教育出版社，2003，84-89

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。