Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ模型再探討

[摘要] 本文修改 Hotelling(1929)模型的基本假定，假定廠商邊際生產成本為正，交通成本由消費者負擔，廠商區位可以為內生變量，也可以為外生變量，在此假定前提下，分析廠商的最優的區位——價格策略，以探討最大差異原則或者最小差異化原則何時成立，或者不成立。

[關鍵詞] 最大差異化 最小差異化 區位內生 區位外生

一、緒論

Hotelling(1929年)最早使用線性區位模型研究了廠商間空間競爭的問題。假定廠商的邊際生產成本為零，在利潤最大化假設下，其結論為兩廠商會同時在城市中點的位置進行選址，即最小差異化原則。D.Aspremont、Gabszewicz 與 Thisse(1979年)延續其構想，但對其假設加以修正，卻得到截然不同的結果。在Bertrand競爭(價格競爭)下，兩廠商聚集在中心點會使均衡價格為零，故兩廠商必會在線形城市的兩個不同端點選址，即最大差異化原則。此后，關于最大差異化原則和最小差異化原則何者成立或者不成立的問題引起了廣泛的討論。

在Hotelling(1929年)和D’Aspremont，Gabszewicz and Thisse(1979年)的模型內，有兩個重要的假設值得討論。第一，消費者所負擔的單位交通成本相同。這一假設與實際的情形可能不符。比如排隊購買，消費者寧愿多花時間購買某一產品而不購買對手的產品，這相當于提高了消費者的單位旅行成本。又比如，廠商的服務效率不同，也會影響消費者的單位交通成本。第二，廠商邊際生產成本為零。這在現實生活中是比較少見的。因此，如果上述假設不成立，廠商的區位——價格策略發生何種變化，這是本文要探討的第一個問題。

此外，研究廠商區位選擇的文獻，多假定廠商的區位內生變量，即通常假定廠商進行兩個階段的博弈，這又可以分為兩種情況：兩廠商同時選址，此后同時制定價格，即完全信息靜態博弈；兩廠商先后進入市場，后進入市場的廠商在觀察到先進入市場的廠商選擇后再進入市場，即完全信息動態博弈。而較少分析區位外生給定的情形，試想當市場上已有一家在位廠商，那么潛在進入廠商可能會直接把廠址選在在位廠商的附近，此時，后進入廠商的區位選擇將是外生變量。

在把廠商的區位分為內生給定和外生給定的情況下，廠商的區位——價格策略也許會發生很大的變化。上述最大差異原則與最小差異原則會發生什么樣的變化呢？或者說，最大差異化原則與最小差異化原則是否仍然成立呢？這是本文要探討的又一問題。

本文將廠商的區位選擇分為內生與外生兩種情形，并假定廠商的產品定價為單一出廠定價（消費者負擔交通成本，產品的實際價格為出廠價和交通成本兩部分之和），沿用Hotelling模型考察廠商的區位——價格博弈，探討最大差異化原則與最小差異化原則是否成立。

二、模型設定與求解

傳統Hotelling模型關于廠商的邊際成本為零的假設過于強烈，并且在現實生活中，消費者到兩廠商的單位交通成本也不一定相等。本文放松上述假定，假設兩廠商的邊際生產成本不同且消費者到兩廠商的單位交通成本也不相同，在此假設下，本文分析兩廠商的價格及區位選擇，探討最大差異化原則與最小差異化原則是否成立。

本文分三種情形討論廠商的價格和區位博弈:第一種情形，廠商同時行動，即完全信息靜態博弈；第二種情形，廠商1先進入市場，廠商2觀察到廠商1的行動之后再行動，且廠商1預計到廠商2將進入市場，即完全信息動態博弈；第三種情形，廠商1先進入市場，且廠商1未能預計到廠商2進入市場。

1.廠商1與廠商 2同時進入市場

模型假設：(1)產品市場為線性市場，市場長度為L，消費者均勻分布在區間[0，L];(2)市場存在兩家廠商分別為廠商1與廠商 2;(3)兩家廠商均采取單一出廠定價，廠商1與廠商2的定價分別為c1、c2;(4)廠商1、廠商2的邊際生產成本分別為c1，c2，0

圖1模型示意圖

廠商1和廠商2分別在A、B兩點設廠，其中A、B兩點至兩端點的距離分別為，代表廠商的腹地；x、y分別表示消費者到廠商A、B的距離。假定在A、B兩點間的C處的消費者到兩廠商處購買產品獲得的效用無差異，即

將代入（1）中，解之得

則兩廠商的利潤函數可以表示如下

將(2)分別帶入(3)、(4)并對p1、p2求導得到利潤最大化的一階條件

解上述(5)式，得到

將(6)式代入得到(3)、(4)中，可得到廠商1、2的利潤最大化的一階條件分別為

兩廠商利潤函數的二階條件為

由二階條件大于零可知，廠商利潤最大化的解是角點解(即端點解)。在角點解的情況下，有四種情形： 。

假定，則廠商1、廠商2的支付(pay-off)矩陣為(見表1)：

表1 廠商同時進入市場時的支付矩陣

可見，在上述情況下，廠商1、廠商2不存在純策略納什均衡。可見，無論最大差異化還是最小差異化原則均不成立。

如果兩個廠商的邊際成本或消費者的成本不同，可能情形會發生一定的變化，但此種情形較為復雜，本文不進行討論。

2.廠商1先行動，廠商2觀察到廠商1的選擇后行動

在此情況下，先求廠商2的利潤最大化的一階條件，然后將其作為廠商2的反應函數帶入到廠商1的利潤函數中，求出廠商1 的最優策略，然后求解廠商2的最優策略。

和廠商同時行動的情形相同，假定廠商1、廠商2的分別選在A、B兩處，位于C處的消費者，從兩家廠商購買產品的效用無差異，即滿足

將(2)式代入到廠商2的利潤函數中去，得到

進而得到廠商2利潤最大化的一階條件為

將(9)式代入到廠商1的利潤函數可得，

其利潤最大化的一階條件為，從而得到

將(10)式代入(9)式，可以得到

將(10)、(11)式代入廠商的利潤函數，可得

廠商1、2的最優區位選擇由下式決定

由于，廠商的利潤最大化的位置應當是角點解，則廠商1的位置應在a=0，或者a=L處，同理，廠商2的利潤最大化的解也應當是角點解，即b=0，或者b=L處。因此，廠商1、廠商2有四種可能的組合:（1）a=0，b=0;(2)a=0，b=L;（3）a=L，b=0；（4）a=L，b=L。

當d1=d2，c1=c2，廠商1、2的支付矩陣變為(見表2)：

表2 廠商先后進入市場，且存在互動時的支付矩陣

可見，上述博弈不存在純策略納什均衡。即最大差異化原則和最小差異化原則均不成立。如果兩個廠商的邊際成本或消費者的成本不同，可能情形會發生一定的變化，但此種情形較為復雜，本文不進行討論。

3.廠商1先進入市場，且廠商1未能預計到廠商2進入市場

在廠商1先進入市場，且廠商1未能料到廠商2進入市場時，通常而言，廠商1為獲得利潤最大化，應當將廠址選在市場的中間處。這種情況下，兩廠商的選址可以圖示如下(見圖2)：

圖2 廠商1先進入市場，且未能預計廠商2進入市場

那么廠商2怎么選擇呢？根據對稱性，我們只討論廠商2位于[0，1/2L]處的情況。

(1)廠商2選擇在端點處設廠。

(2)廠商2選擇在線段的中間處設廠。

(3)廠商2選擇在（0，1/2L）處設廠。

假定兩家廠商的生產成本相等，消費者的交通成本也相同。如果廠商2選擇在0處設廠，則廠商2的腹地過小，它的市場份額為[0，1/4L]，即廠商的市場份額占整個市場的1/4，是廠商1的1/3。同理，廠商2如果選擇在[0，1/2L]處的任一點，那么其市場分額總是小于廠商1的市場份額。利潤也將小于整個市場的一半。只有廠商2同樣選擇在線上中間處即1/2L處設廠，其市場份額和利潤才會和廠商1相等。因此，有理由相信廠商2也將在市場的中間處設廠。此時，我們得到產品最小差異化原則。

如果廠商2的生產成本小于廠商1，或者廠商2的交通成本較小，則兩廠商在中間處設廠，必然導致價格競爭增加，使得廠商1退出市場，廠商2獨占整個市場。

如果廠商2沒有成本優勢(或者生產成本大于廠商1，或者交通成本大于廠商1，或者兩者兼而有之)，那么廠商2還會進入市場嗎？此時，廠商2仍有可能進入市場。其選址位置在[0，1/4L)處，具體位置，應視兩廠商的成本差異大小而定。廠商2的成本劣勢越大，則廠商2的選址越是靠近0處。此時，既不是最大差異化，也不是最小差異化。

三、結論

在單一出廠定價制度下，如果交通成本是一次的，通過上述分析，可以得出如下結論：

1.無論兩家廠商同時進入市場，還是廠商1先進入市場，且廠商1能夠預計廠商2將進入市場，只要兩廠商的生成成本相同，消費者負擔的交通成本相同，那么在這兩種情形下，都不存在純策略納什均衡。即在內生區位選擇下，最大差異化和最小差異化原則均不成立。這一結果，與Economides(1986年)的結論相同。

2.如果廠商1先進入市場，廠商2后進入市場，且廠商1未預計到廠商2進入市場（外生區位），當廠商的邊際成本、消費者的交通成本均相等時，則兩家廠商均會聚集在市場的中間處，此時，符合最小差異化原則。如果廠商2具有成本優勢，則廠商1退出市場，廠商2將獨占整個市場。如果廠商2存在成本劣勢，則廠商2會將廠址選在[0，1/4L]處或者[3/4L，L]處的某一點。此時，既不是最大差異化，也不是最小差異原則。

本文考察了單一出廠定價制度下廠商的策略競爭選擇，得到的結論有點出乎意料，這也許與我們假定交通運輸成本為一次性的有關。最小差異化原則在很少的情形下才存在，而且本文未發現最大化差異成立的情形。

本文的上述結論建立在廠商的生產成本相等和消費者交通成本相等的基礎上，如果兩種成本不同，可能會得出不同于本文的結論。除此之外，現實中還存在單一送貨定價制度（即對任何位置的消費者均收取統一價格）的情形，如快餐業等服務行業的送貨上門的情形。此時，廠商的策略選擇也許有所不同。

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