主成分分析法在公司綜合評價中的應(yīng)用

[摘要] 文章主要介紹了主成分分析法的基本思想和計算步驟，并用主成分分析法在公司綜合評價方面進行了實證分析。

[關(guān)鍵詞] 主成分分析法 指標(biāo) 綜合評價

目前國內(nèi)外關(guān)于多指標(biāo)綜合評價的方法很多，根據(jù)權(quán)重確定方法的不同，大致可分為兩類：一類是主觀賦權(quán)法，如層次分析法、德爾菲法，等等，多是采用綜合咨詢評分的定性方法。這類方法因受到人為因素的影響，往往會夸大或降低某些指標(biāo)的作用，致使排序的結(jié)果不能完全真實地反映事物間的現(xiàn)實關(guān)系。另一類是客觀賦權(quán)法，即根據(jù)各指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系或各項指標(biāo)值的變異程度來確定權(quán)數(shù)，避免由于人為因素帶來的偏差，如主成分分析法、因子分析法，等等。本文介紹的主成分分析法在將原始變量轉(zhuǎn)變?yōu)橹鞒煞值倪^程中，同時形成了反映主成分和指標(biāo)包含信息量的權(quán)數(shù)，以計算綜合評價值。這樣在指標(biāo)權(quán)重選擇上克服了主觀因素的影響，客觀地反映了樣本間的現(xiàn)實關(guān)系。

一、主成分分析法的基本思想和分析步驟

主成分分析就是設(shè)法將原來眾多的具有一定相關(guān)性的指標(biāo)(比如P個指標(biāo))，重新組合成一組新的相互無關(guān)的綜合指標(biāo)來代替原來的指標(biāo)。通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來P個指標(biāo)作線性組合，若沒有限制條件作為新的綜合指標(biāo)，這樣的線性組合會有很多，那么如何去選取呢?主成分分析的基本思想是：如果將選取的第一個線性組合即第一個綜合指標(biāo)記為F1，自然希望盡可能多的反映原來指標(biāo)的信息。這里的“信息”最經(jīng)典的方法就是用F1的方差來表達(dá)，即 Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的線性組合中所選取的F1應(yīng)該是方差最大的，故稱F1為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來P個指標(biāo)的信息，再考慮選取F2 即選第二個線性組合，為了有效地反映原來信息，F(xiàn)1已有的信息就不再需要出現(xiàn)在F2中，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是要求Cov(F1，F(xiàn)2)=0，稱F2為第二主成分，依次類推可以造出第三，第四…第P個主成分。不難想象這些主成分之間不僅不相關(guān)，而且它們的方差依次遞減，因此在實際工作中，就挑選前幾個最大主成分。雖然這樣做會損失一部分信息，但是由于抓住了主要矛盾，并從原始數(shù)據(jù)中進一步提取了某些新的信息，這種既減少了變量的數(shù)目又抓住了主要矛盾的做法有利于問題的分析和處理。設(shè)有n個樣品，每個樣品觀測P個指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)寫成矩陣:

3將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。用Z—score法對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)變化：，式中，

4 求指標(biāo)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。為指標(biāo)j與指標(biāo)k的相關(guān)系數(shù)。

3．求相關(guān)矩陣R的特征值和特征向量，確定主成分。若特征根記為，相應(yīng)的單位特征向量為:將標(biāo)準(zhǔn)化后的指標(biāo)變量轉(zhuǎn)換為主成分: F1稱為第一主成分， F2稱為第二主成分，… ， Fp稱為第P主成分。

4．求方差貢獻率，確定主成分個數(shù)。一般主成分個數(shù)等于原始指標(biāo)個數(shù)，如果原始指標(biāo)個數(shù)較多，進行綜合評價時就比較麻煩，主成分分析方法就是選取盡量少的k個主成分(k

5．對k個主成分進行綜合評價。先求每一個主成分的線性加權(quán)值，再對k個主成分進行加權(quán)求和，即得最終評價值，權(quán)數(shù)為每個主成分方差的貢獻率：，最終評價值

二、主成分分析方法的應(yīng)用

1 材料與方法

資料取自某公司1994--2005年工作報表中7項指標(biāo)，見表1。

表1 某公司1994年～2005年統(tǒng)計資料

數(shù)據(jù)在586微機上用SPSS1O．O軟件進行主成分分析

2.結(jié)果

對7個變量進行主成分分析，結(jié)果見表2。

從表2可知，7個指標(biāo)第一主成分特征根為4．603，方差百分比為65．754％；第二主成分的特征根為1．755，方差百分比為25．077%。兩者累積方差百分比為90．83l% ，說明前兩個主成分已經(jīng)能解釋7個源變量變異的9O．831% ，即前兩個主成分可以利用資料總信息量的90．831% 。再計算各年度在兩個主成分上的得分、綜合得分并進行排序。結(jié)果見表3。

表3 各年度公司經(jīng)營水平綜合評價結(jié)果

3.討論

本研究采用主成分分析法對某公司1994-2005年12年進行綜合評價。首先計算出主成分特征根、方差百分比、累積方差百分比。由此引進權(quán)重，避免確定權(quán)重的主觀性，使其客觀可靠。

在主成分運算中采用SPSS1O．O軟件，快速方便，簡單準(zhǔn)確，在綜合評價中具有較強的實用價值。

總之，本研究通過主成分分析法對該公司1994-2005年12年進行綜合評價，結(jié)果表明，該公司經(jīng)營水平在不斷提高。此結(jié)論與原始數(shù)據(jù)變化方向基本一致，主成分分析法準(zhǔn)確反映了公司經(jīng)營水平的變化趨勢，在綜合評價中的應(yīng)用是可行的。

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