教學案例：等腰梯形的判定

案例背景：

《等要梯形的判定》選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》（浙教版）八年級下冊第六章第四節。教材由學生熟悉的等腰梯形的性質引入，即“等腰梯形同一底上的兩個底角相等，兩條對角線相等”。然后探索“等腰梯形同一底上的兩個底角相等”的逆命題，但是并沒有對命題進行證明，而是把空間留給了學生。

教學理念：

引導學生有條理地表達自己的思考過程，通過自主探索、合作交流樹立推理意識，徹底改變過于注重知識傳授的傾向，讓學生主動參與學習過程，為學生敢創新、能創新提供充足的時間和空間。

案例描述：

一、 創設情景提出問題

師：同學們，什么是等腰梯形？

(加深學生對新舊知識的回憶和聯系，引導學生回憶等腰梯形的定義。)

生：兩腰相等的梯形是等腰梯形。

師：我們在小學時是用什么方法判斷等腰梯形呢？

生：用刻度尺測量梯形的兩腰，如果相等，就是等腰梯形。

二、 學生合作探究，分析并解決問題

1. 動手操作

師：同學們畫一個梯形，測量其兩腰，判斷是否是等腰梯形，并與同桌分享。

(同學們互相展示著，體驗成功的快樂。)

[學生們親自動手操作，用度量的方法驗證兩腰相等的梯形是等腰梯形這一結論。教師為學生提供了操作的學習機會。這一簡單的自主探索活動，充分調動了學生的興趣與參與熱情。]

師：中學數學是建立在推理基礎上的，是否能從其他方面通過推理的方法來判定等腰梯形？

問題提出來以后，學生積極參與小組討論，有的學生拿著刻度尺，有的拿著量角器，不時發出爭議聲，有的同學把求助的目光投向我。

2. 師生交流

師：同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形嗎？

(教師不失時機地結束小組活動，避免了學生因為問題解決不好而失去探究的興趣。不少學生能完成畫圖，并根據命題寫出已知和求證。師用多媒體展示，并給予鼓勵。)

生：已知：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=∠C，

求證：梯形ABCD是等腰梯形。

師：那么這命題正確嗎？請同學們給出證明。

[教材中對于“在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”這一命題并沒有作出證明，這里創造性地設計問題，變“教教材”為“用教材”，體現了教師不僅是課程教材的執行者，而且是課程教材的開發者這樣一種理念。并且這樣設計能充分調動學生主動參與學習活動，使學生在課堂活動過程中感悟知識的生成、發展和變化。]

(這時，老師不急著作出批判，而是要學生自己通過動腦作出正確的評價。)

過了一會兒，不少學生慢慢抬起了頭，開始東張西望，想了解其他小組的討論結果，有的學生則仍是一臉迷霧。

師：從已知的∠B=∠C出發，得到AB=DC，即兩個角相等，推出兩邊相等。同學們，你們想到了什么?

[及時提出問題，使學生形成克服困難的主動心理傾向，并將學生的思維引向深入，由感性上升為理性。]

生1：我想到了在同一個三角形中等角對等邊。

師：可是圖形中并沒有等腰三角形呀？

(不一會兒，思維活躍的董同學打破了這片刻的寧靜，提出了自己的見解。)

董同學：添上輔助線，過D作DE=DC交BC于E(多媒體展示如圖2)，由DE=DC推出

∠DEC=∠C，再由∠B=∠C，推出∠B=∠DEC，從而得到AB∥DE，又由已知

AD∥BC，則ABED是平行四邊形，所以AB=DE=DC。

(教室里發出了鼓掌聲，那是一種肯定和成功后的欣喜。)

師：是否還有其他的添輔助線的方法？

(讓學生在數學活動中體會添輔助線的必要性，希望再次激起學生參與創造的欲望。)

有了前面的鋪墊，學生對于圖形的處理好像得心應手了。

生3：分別延長兩腰交于一點E，

通過∠B=∠C，得到EB=EC，

再由AD∥BC，可以得到

∠EAD= ∠B，∠EDA =∠C 容易得知：

∠EAD=∠EDA則AE=DE

EB—EA=EC—ED ，即AB=CD

(教師將問題拓展，產生新問題的目的是激勵學生的思維，拓寬學生思維的空間，開發學生的的學習潛能，培養學生的發散思維能力，重視對學生說理的教學，培養學生的邏輯思維能力。)

生4：

作梯形ABCD的高AE、DF。通過證明RT△ABE≌RT△DCF來證明AB=DC。

(這個證法的提出，學生一時又興奮起來。有的低下頭又在紙上忙開了：有的面帶微笑，好像悟出了什么；有的緊鎖眉頭，好像仍在思索什么。真可謂“一石激起千層浪”。)

三、 理性歸納

由于時間的關系，我及時將學生的學習活動轉入小結，即“對在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”這一定理的幾種證明方法，以及等腰梯形常見添輔助線的幾種圖形進行總結。

然后通過提出問題的方式，引導學生對前面探索、發現和問題探究的過程與成果進行自我評價，自我總結，對整個課堂的學習過程進行反思。(具體教學過程略)

師出示如下圖形：

(通過提出問題的方式，引導學生對前面探索、發現和問題探究的過程與成果進行自我評價，自我總結，對整個課堂的學習過程進行反思，養成學習——總結——學習的良好習慣，發揮自我評價的作用，培養學生的語言表達能力。)

四、 應用練習

1. 練習：判斷正誤

(1)有兩個角相等的梯形一定是等腰梯形。

(2)兩條對角線相等的梯形一定是等腰梯形。

(3)如果一個梯形是軸對稱圖形，則它一定是等腰梯形。

(4)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形。

(5)對角互補的梯形一定是等腰梯形。

(6)有兩個角等于70°的梯形是等腰梯形。

2. 課后評價

本節課的設計，圍繞教學目標，創造性地使用教材。以建構主義理論為基礎，以問題為載體，以學生動手實踐、自主探索合作交流為主要的學習方式，注重學生間的相互評價。作為教學活動的組織者，教師的作用首先在于為學生的學習營造和諧、寬松的氛圍。新課程下的教學組織工作的好壞會直接影響教學的效率和效果。

教的本質在于引導。為了使學生對等腰梯形的判定有感性的認識，堅持引導學生在他們理解的基礎上表述，再經歷說理證明的過程。經過幾個回合，學生們能用幾何語言來表述“在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”。

教師作為學生學習的合作者，有利于建立新課程強調民主、平等的新型師生關系，有利于教師尊重、賞識、激勵學生，有利于更好地了解學生。在教學過程中，我改變了單向傳授知識的傳統教學方式，真正形成師生是互助的“學習共同體”。在建立等腰梯形判定的過程中，我以學習者的口吻參與討論，在需要深入思考或變換角度研究時給予點撥指導。這就改變了單一接受的學習性質，使課堂上的學習有了研究的氛圍。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。