康托與集合論的創立

摘 要： 喬治·康托——超窮集合論的創立者，是數學史上最富想象力和創造力的數學家之一。因為他發明的超窮數理論從根本上背離了當時數學中關于超窮數使用和解釋的傳統，從而引起了當時學術界的激烈爭論乃至嚴厲譴責，為了集合論的創立他耗盡了畢生心血。集合論的創立在數學史上具有劃時代的意義，它是現代數學誕生的標志，是現代數學的基礎。

關鍵詞：康托 集合論 公理系統 悖論

一、康托的生平及主要貢獻

喬治·康托（Cantor Geory，1845.3.3—1918.1.6），德國數學家，集合論的創始人。1876年以解決一般整系數方程的求解問題獲柏林大學哲學博士學位，畢業后又受維爾斯特拉斯（K·weierstress）的直接影響，由數論轉向嚴格分析理論的研究。自1869年起任哈萊大學講師，1872年任副教授，1879年任教授。擔任過柏林數學會主席（1864—1865），還組建了德國數學協會并任第一任會長（1890—1893）。

集合論的創立是數學史上的重大事件，也是康托對數學的主要貢獻，他最重要的著作是《超限數理論基礎》。康托的工作給數學的發展帶來了一場革命，他的理論超越直觀，解決了許多懸而未決的問題，但同時也顛倒了許多前人的想法。它一問世，便遭到了一些同時代學者的反對和嘲笑，有人指責他“信口開河”、“神經質”等等；有人嘲笑集合論是一種疾病，叫嚷“要從疾病中恢復過來”。在圍攻康托的人中，最嚴厲、最激烈的要數柏林的數學權威克羅內克（L.Kronecker），此人對康托的集合論特別是超限數理論持根本否定態度，認為只有他研究的代數數才是最可靠的。著名數學家克萊因（Klein）、法國大數學家龐加萊（Poincare）也對康托的觀點持否定態度。在種種非難和攻擊面前，康托精神受到嚴重壓抑，常常陷入高度緊張和用腦過度的狀況。1884年，他患了深度精神抑郁癥，1887年才恢復工作，他的晚年是在病痛折磨中度過的。1918年1月6日，這位偉大的數學家因精神分裂癥在一家精神病院里與世長辭。

隨著時間的推移，康托的創造終于得到了歷史的公正評價，許多數學家深為這一理論的作用而感動。數學家希爾伯特（D.Hilbort）稱之為“數學家的樂園”、“數學思想最驚人的產物”，英國數學家羅素（B.Russel）將它譽為“這個時代所能夸耀的最偉大的工作”。集合論在本世紀已逐步滲透到各個數學分支，成為分析理論、測度理論及數理科學中必不可少的工具。在數學研究日益深入展開的今天，集合論愈來愈顯示其重要作用，對數學研究產生了巨大的、深遠的影響。

二、集合論產生的背景及其創立

1811年，法國數學家傅立葉（Fourier）發表了他的《關于熱傳導問題研究》的論文，文中應用將函數展為三角級數的方法一舉解決了當時物理界提出的熱傳導的大課題。由于將任意函數展為三角級數的概念和方法具有巨大的理論意義和實用價值，因此被認為是數學史上“最輝煌的成就之一”。

康托正是從研究把函數表達為三角級數的唯一性的判別問題而提出集合論的。把函數展為傅立葉級數的收斂性，以及密切相關的分析基礎嚴密化的研究，都歸結到建立實數理論問題，這需要徹底弄清實數的結構和性質，包括對數系的理解和數集概念的建立等。

早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次發表論文，證明了函數的三角級數表示的唯一性定理。為了描述某種無窮集合，他首先定義了點集的極限點，然后引進了點集的導集和導集的導集等重要概念——這是從間斷點這一特殊問題的探討轉向點集論研究的開端，并為點集論奠定了理論基礎。

1874年，康托在《數學雜志》上發表了關于集合論的第一篇文章《論所有實代數數的集合的一個性質》，把集合作為數學對象，提出：“所謂集合，是把我們的直觀或思維中確定相互間有明確區別的那些對象（它們叫做集合的元素）作為一個整體來考慮。”他還指出，如果一個集合能和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。他又給出了開集、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運算。

為了將有窮集合的元素個數的概念推廣到無窮集合，他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念：兩個集合只有當它們的元素之間可以建立一一對應時才稱為是等價的，這樣就第一次對各種無窮集合按他們元素的“多少”進行了分類。他還引進了可列的概念，把凡是能和正整數構成一一對應的任何一個集合稱為可列集合。在他發表的第一篇關于集合論的文章中，證明了有理數集是可列的，使數學界感到驚訝，更為驚人的是他還證明了所有代數數構成的集合也是可列的。關于實數集合是否可列的問題，康托1873年在給戴特金（R .Dedekind）的信中提出過，但不久他自己得到了解答：實數集合是不可列的。通過這些證明，他建立起被稱為“康托公理”的實數連續性公理，同年他又構造了實變函數論中著名的“康托三分集”，給出測度為零的不可列集的一個例子。由于實數集是不可列的，而代數數集合是可列的，于是他得到了一定有超越數存在的結論，而且超越數大大多于代數數，他的這一成果在當時的數學界引起了極大的轟動。

康托在1874年的第一篇關于集合論的論文中還證明了無窮集之間的差別，那就是既存在可列的無窮集，也存在像實數集那樣不可列的無窮集。他引進了集合的勢（也稱基數）的概念，隨后又對這一概念進行了深入的研究，引進了基數與序數理論，他還極富創建性地提出了超限基數和超限序數。他從1879年到1884年在《數學年鑒》上以《關于無窮的線性點集》為題發表了一系列文章，論述無窮數（或超窮數）理論。尤其是1895年和1897年在《數學年鑒》上發表的兩篇具有決定意義的文章進一步闡述了無窮的特性，對無窮集合引進了新的基數。他給基數的和、積、冪下了定義，并指出他的關于基數的理論適合于有限集合。至于序數的概念，早在他引進一個已知集合的逐次導集時就感到有必要了，他定義了全序集及序數的和、積、相等與不相等等概念。1883年他在《數學年鑒》上發表的文章中定義了良序集的概念，并討論了基數上序數的級別。

由康托首創的具有劃時代意義的集合論，是自古希臘時代的二千多年以來人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統和確定的運算，他從本質上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發生了一次革命性的變化，并滲透到所有的數學分支，從根本上改變了數學的結構，促進了數學的其他許多新的分支的建立和發展，極大地推進了數學的發展進程。

三、集合論的發展與完善

同其它新生事物一樣，康托的理論并不是完美無缺的：一方面，康托對連續統假設是否成立及非良序集的基數如何比較等問題始終束手無策；另一方面，更重要的是后來發現了所謂的布拉利-福蒂（Buraly-Forti）和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產生了懷疑。

1903年，數學家羅素在他出版的《數學原理》一書中提出了著名的羅素悖論。在給出悖論之前，他先講了一個生動的“理發師悖論”：一個理發師約定，只為那些“自己不給自己刮臉的人”刮臉，而不為那些“自己給自己刮臉的人”刮臉。那么，他給不給自己刮臉呢？若他給自己刮臉，那他是“自己給自己刮臉的人”，顯然違反了自己的約定；若他不給自己刮臉，那他是“自己不給自己刮臉的人”，顯然也違反了自己的約定，于是理發師陷入了矛盾之中。

羅素悖論實質上同理發師悖論差不多，他構造了一個集合T={x|x?魵T}，由康托集合概括原則，T是一個集合，是一切不以自身為元素的集合為元素所構成的集合。那么，T是否屬于T？若TIT，由T的構造知，T?魵T；若T?魵T，由T的構造有TIT，因此無論如何都會導致矛盾。

這個矛盾是如此簡單明了，用的概念是如此基本，因此羅素悖論的提出在數學界產生了極大的震動。數學家們感到數學的基礎動搖了，數學的大廈將要倒塌！怎么辦？這些成了擺在二十世紀初數學家面前必須解決的問題(這就是歷史上著名的第三次數學危機)！

經過研究，數學家們認識到解決矛盾的有效途徑是對集合論進行公理化處理。其基本思想是：把康托關于集合的廣義條件分為兩類，一類為合法條件，它們刻畫了集合最基本的性質、特征，是構成集合的必要條件；另一類為不合法條件，他導致集合論悖論的產生。然后采用公理的形式保留合法條件，排除不合法條件。

德國數學家策梅羅(Ｅ.Zermelo)于1908年提出了集合論的第一個公理系統。他從“集合”、“屬于”兩個基本概念出發，引入了八條公理：外延公理、空集公理、無序對公理、并集公理、冪集公理(上述五條公理實質上都是康托集合論中已有的，由這些公理出發，幾乎可以推出康托集合論中所有有限集，但得不到無限集)、無窮集公理、子集公理和選擇公理。

但策梅羅公理仍然存在缺陷，后來又出現了“異常集”悖論。1925年數學家馮·諾伊曼John Von Neumann引入第九條基底公理。同年，數學家弗蘭克爾(Abraham A·fraenkel)針對含義較模糊的子集公理提出了第十條置換公理，使策梅羅公理系統進一步完善。

至此，由“集合”、“屬于”兩個原始概念和上述十條公理就組成了一個完整的集合論公理系統，即ZF公理系統。ZF系統完全克服了之前所出現的各種悖論，足夠作為經典數學分析所需要的邏輯基礎。但ZF系統反對者從選擇公理出發又推出了“怪球問題”等一系列悖論，ZF系統是否相容的問題至今尚未解決。

除開ZF系統外，馮·諾伊曼從1925年開始建立以“類”和“真類”的概念區別集合的另一公理系統；1945年數學家貝爾奈斯(P.Bernays)建立了一個公理化集合系統，稱為GB系統；法國著名的布爾巴基(N·Bourbaki)學派也提出了另一公理系統，用希爾伯特ε-算子來取代與之等價的選擇公理，等等。

上述公理系統通稱為公理集合論，與之相對應，人們把康托的傳統集合論稱為經典集合論或樸素集合論。

在此后的發展中，數學家們關于集合論的各個公理系統的相容性和獨立性的研究、關于連續統假設的研究、關于超窮基數的深入研究等等不斷豐富和發展了集合論，不斷地開拓了集合論的應用范圍，同時也不斷深化了人們關于數學內在統一性、關于數學其理性的認識，并且隨著其它數學分支(如拓撲學、組合學、模糊數學等)的發展，一些新的邊緣學科“集論拓撲”、“組合集論”、“模糊集論”等等也不斷出現，集合論這支數學園地上的奇葩正日益放射出新的奪目光彩！

四、 康托的個性及哲學思想

康托在他的《超窮數論的奠基性貢獻》中用了一段名言作為開篇引言：“我們決不按自己的意圖把法則強加于理智或事物，而是如忠實的抄寫員那樣，從自然的啟示中接受這些法則并把他們記錄下來。”這段話十分恰當地反映了康托在數學哲學上的基本立場：思維的法則和數學的定律并不屬于任意的虛構，而是固有的而且可以認識的。

集合論誕生是充滿艱辛的，他是康托慘淡經營終生的產物。在那對集合論充滿排斥和敵意的環境里，康托為捍衛他自己所創造的超限數和集合論進行了長期的戰斗，數學無窮的革命幾乎是由他一人完成的。他對自己的理論充滿自信，堅信時間會證明一切。但康托的斗爭并不是很徹底的，在某些方面也表現出對唯心主義和宗教的調和，而這些又都是與康托獨特的個性與哲學思想中深刻的宗教根源有直接的聯系的。

康托在超常沉重的精神壓力下，飽受了精神病的折磨。他一生篤信宗教，至死都把自己當作上帝的使者，上帝是他力量的源泉，也是他理論必然性的最終保證。正是這種不可動搖的信念給了他面對數學史上前所未有的激烈風暴的勇氣，去堅定地捍衛他的超窮集合論，使其在充滿懷疑和排斥的氣氛中得以生存，并最終使超窮集合論成為二十世紀科學思想史上最富生命力的偉大創舉。

參考文獻：

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