改善學生思維品質 提高數學教學效果

[摘要]高等數學教師在課堂的教學中，若能經常發掘教材中的教學點，就能提高數學中的美學方法，在教學中大膽探索審美方法，培養學生創造與審美能力，高等數學的教學必將會收到極好的效果。

[關鍵詞]數學美 高等數學教學 體驗美

美是人類從古至今討論的永恒的話題，數學內容的規律性、有序性，如簡單、對稱、統一、奇異等，這些有序化特征構成了數學的本質，這就是所謂的“數學美”。愛因斯坦十二歲時，得到一本歐幾里德幾何教科書，它的嚴謹、明澈和確定，給愛因斯坦留下了不可泯滅的印象；羅素十一歲學習歐幾里德幾何，感到這是他一生中一件大事，他像初戀一樣地入迷，沒有想到世界上還會有這樣有趣的東西。數學的美不同于自然美或藝術美，正如英國數理哲學家羅素所說：“數學如果正確地看待它，不但擁有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴格的美，這種美不是投合我們天性的微弱方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地，數學美是一種理性的美、抽象形式的美。”數學美主要有：簡單美、對稱美、統一美和奇異美，這都是數學美感的要素。在高等數學的教學中，教師的主要任務是向學生傳授高等數學知識，但從教學實踐中我們常常發現，由于高等數學的本身的嚴密性，抽象性，使得初學者對公式、概念、數據感到生疏枯燥，從而學習的主動性受到壓抑。因此在教學中充分揭示數學知識的所蘊含的美的特征，培養學生對數學的審美能力，讓學生從數學學習過程中獲得美感，能夠激發學生的學習興趣，改善學生的數學思維品質，提高數學教學效果。

一、在教學過程傳授中揭示數學美

1.數學形式的簡單美，幫助記憶

數學教學和研究過程，總是以符號化語言來進行的。“數學的符號化語言，以最簡潔的形式，卻反映著其深刻的客觀規律”。這正是數學簡單美的體現。

2.利用對稱美，簡化解題

數學形式和結構的對等性數學命題中的對偶性都是對稱美的自然體現。加法與減法、乘法與除法、微分與積分等逆運算的建立，就是追求對稱性美的產物。解析幾何中，方程ρ=asin3θ及ρ=acos3θ，ρ=asin2θ及 的=acos2θ所表示的曲線，分別冠以三葉玫瑰，四葉玫瑰美稱。在數學表達式中二項式展開的系數具有對稱性；三角形中的恒等式，不等式的對稱性。定積分的元素法求旋轉的體積等計算過程中體驗數學對稱美，引導學生充分這些數學形式或對稱性通常能使解題過程簡潔明快。

3.利用統一美，培養探索精神

數學上的和諧意味著數學本身理論的協調統一，如歐氏幾何、羅氏幾何與黎氏幾何雖公理體系不相同但它們同時又是相對相容的，其脈絡的清晰、結構的嚴謹相反相成的互為補充，正是整個數學理論協調、統一。如微分中值定理中：羅爾定理(Rolle)去掉f(a)=f(b)這一條件，就引出拉格朗日(Lagrange )中值定理，將拉格朗日中值定理的函數關系變為參數方程X=F(x)

Y=f(x)加以探索就引出了柯西中值定理。反過來，柯西中值定中的F(x)=x時，就得到了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中取f(a)=f(b)時就得到羅爾定理。又如復合函數的微分形式的不變性；極限無不體驗著數學美，如能利用它的美便于我們去培養探索精神。

4.利用奇異美，發現新知識

奇異是對平常或平凡而言的，是對傳統的突破。奇異性表現在結論的新穎奇巧出乎意料，往往引起思想上的震動，例如：畢達哥拉斯學派“認為十這個數目是一個完美的數目”，這時所認識的數是自然數、有理數，認為有了這些數就足以表達一切量，除此以外再無別的數，無理數的發現無疑是一個奇異的結果，導致了有理數域的擴張；微積分奠基工作中的奇異現象，導致了嚴格的實數理論的建立；極限概念的出現是和十七、十八世紀人們對于無窮級數求和所出現的困惑，導致級數理論的發展；虛數單位i的引進，曾被人們認為是虛幻的，至今還保留著“虛數”的名稱，但是，正是從這里才導致復變函數論的建立；如求曲邊梯形面積，一時不知如何下手，而通過分割，把區間[a，b]分成幾個小區間，即把曲邊梯形近似地表示該曲邊梯形的面積，當每個小區間的長度都趨于零時，所有小矩形面積之和的極限便為曲邊梯形面積，并可用公式來表示，從而成為積分計算問題，又如，在分部積分公式的應用中，積分在兩次應用公式后，竟出現循環，教師如善于抓住這些奇異現象，發現新知識，這對解題有突破性進展重要的途徑，使學生從學習過程中得到美的體驗。

數學美的諸要素之間是相互聯系著的。在一定的意義上講，對稱性與簡單性都可以歸結為統一性。因為對稱性無非就是部分與部分之間的一種特殊的和諧、統一的表現。簡單性體現為一種規律性，常常是建立在對立統一性認識的基礎上，因此，簡單性是統一性的客觀標準。另外，奇異性與統一性在一定意義上是相互對立、相互補充的。因為奇異性意味著出乎意料，從而是對原先所達到的統一性的破壞。但是，奇異性結果的獲得，往往標志著認識的新飛躍，而這種新的認識則意味著追求更高層次的新的統一。

二、通過教學、問題解決、數學模型等教學活動體驗數學美

1.在數學中應提示教材中潛在的關系因素，使學生自覺地認識到數學美，對于潛在的數學美，教師應用發現法教學，從審美的角度提出問題，創造情景使學生沉浸在渴求具有美學特征新知識的情感之中，讓學生愉快，去發現具有美感的新知識，這樣學生既掌握了新知識審美能力又得到了培養。

2.在數學的教學中利用問題的解決，數學建模等活動充分挖掘隱含在問題中的“美”，引導學生從數學的審美的角度，充分挖掘問題中數量關系或空間形式的簡單性、秩序性等；加以簡單化、秩序化可以使解題者少走彎路，甚至可以發現具有創造性的解法。

總之，高等數學教師在課堂的教學中，若能經常發掘教材中的教學點，就能提高數學中的美學方法，在教學中大膽探索審美方法，培養學生創造與審美能力，高等數學的教學必將會收到極好的效果。

參考文獻：

[1]張雄，李得虎編著.數學方法論與解題研究.高等教育出版社，409.

[2]陳國慶.在高等數學教學中如何滲透美學教育.婁底師專學報.

(作者單位：湖北荊楚理工學院計算機學院)

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”