培養初中學生數學直覺思維摭談

[摘要]直覺思維是數學發現過程中的一種創造性思維，一般通過歸納或觀察、類比、聯想等方式探索而提出猜想，其作用在于發現真理，預見證明方法和思路。教師在教學過程中應該有意識地培養學生的探索與猜想能力，對于學生的成長具有“點石成金”的意義。本文從原型問題出發培養學生的再造能力、養成善于猜想的數學思維習慣和指導直覺選擇，進一步發展創造思維等方面探討了培養初中學生數學直覺思維的問題。

[關鍵詞]數學教學 直覺思維 培養策略

德國著名數學家彭加勒曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具”。在數學發展的過程中，無論是概念的明晰、理論的建立，以致結果的猜想都是與直覺思維分不開的。縱觀中外數學史，不難看到，小至一般的數學問題，大到數學發明創造，其解決過程一般都經過兩個階段，首先，針對問題，提取有關的原知識，并經過思考，通過直覺、頓悟，提出解決方案，其次，通過歸納、類比、演繹、推理、證明整理方案。可見，數學思維活動中，離不開直覺思維。數學新課標也提出：“數學學習應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”數學教師的職責應該轉變為越來越少地傳遞知識，而越來越多地激勵學生思考和探索。教師必須集中更多的時間和精力從事那些有效果的和有創造性的活動。本文就數學直覺思維能力的培養談一些具體做法。

一、幫助塑造“原型問題”，從“原型問題”衍生和產生再造能力

在具體的教學過程中，一方面，在對新的概念、原理的講授時，不能簡單地將概念、原理直接交給學生，然后做大量的習題，用以理解、內化剛剛接觸的概念、原理，而應該花更多的時間在概念、原理的產生過程上，盡可能地講清楚形成的背景，是因為遇到什么困難或解決什么問題，而提出某個概念或原理，還要讓學生了解概念、原理是怎樣由假說通過實驗驗證加以修正，然后實驗驗證再加以修正，最后才形成教材中旱現出的概念、原理。例如多邊形的外角和是一個較抽象的命題。傳統教法是把多邊形的一個內角與它相鄰的外角構成一個平角，再用多邊形的邊數n與180°求積，算出它的度數，然后減去多邊形內角和：(n一2) 180°，最后得出多邊形外角和為360°。用邏輯推理結果是令人信服的。只是缺乏直覺體驗，學生也忘得快。筆者利用學生的直覺體驗與直覺洞察。設計了一個新的學習方案。

師：你作為一個運動員，在原地轉一圈。身體轉過了多少度?

生：360°。

師：你若沿圓周順時針跑了一圈，身體轉過多少度?

生：360°。

師：你沿著環形跑道順時針跑了一圈．身體轉過了多少度?

生：360°。

師：現在你沿一個六邊形的跑道(圖)，從A點出發，順時針跑了一圈回到A點出發的方向，身體轉過了多少度?

生：360°！

師：你能畫出每個轉彎處（如B處)身體轉過的角度嗎?

(學生動手畫圖，教師巡視學生作圖)

師：大家畫的圖跟我畫的圖基本一致。每一個轉彎處身體轉過的角度，用∠1，∠2……∠6標出來，則∠1+∠2+∠3十∠4+∠5+∠6=360°。∠6是六邊形ABCDEF的外角，可見其外角之和等于……?

生:360°!

師:如果跑道是任意一個n邊形(n≥3)，順時針跑完一圈，身體轉過的角度是多少呢?

生:還是360°!

師:這是為什么呢?

生:因為人沿任何一個多邊形順時針跑完一圈，跟人沿圓周跑完一圈身體轉過的角度是一樣的。

師:非常好!如果我們沿逆時針方向沿n邊形跑完一圈，身體轉過的角度又是哪些?身體一共轉過了多少度?

師:我們能用學過的數學原理，證明你的發現嗎?

基于學生的生活經驗和直覺洞察，解決了多邊形外角及外角分布、外角和等相關問題的認知，借助邏輯推理驗證了直覺洞察結果的準確性，強化了多邊形外角和的認知建構。

另一方面，在進行習題教學時，應選擇衍生和再造性較強的例題，也就是通常所指的典型例題，保證為學生建構比較完備充分的“問題原型”庫具體要兼顧到以下幾點：（1）既要有順推法又要有逆推法解題思路；（2）解題常用的科學思維方法都應經常涉及到，例如，比較和鑒別、分析和綜合、歸納和演繹、類比和聯想、直覺等方法；（3）讓學生經常接觸到數學問題解決的一此特殊方法，例如，整體法、守恒法、反證法、極端假說法、虛設法、圖解法、極值法等。分析講解時，更多是怎樣引導學生運用已經掌握的原型來解決目前所面臨的新的數學問題，幫助學生分析新的問題與已經掌握的原型問題之間的異同點；或以原有的原型問題為基礎結合新的問題情景衍生或再造出新的“問題原型”，隨之數學問題便解決了。

二、鼓勵大膽猜測，養成善于猜想的數學思維習慣

對于未給出結論的數學問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導；對于已有結論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。數學猜想是有一定規律的，并且要以數學知識的經驗為支柱。但是培養敢于猜想、善于探索的思維習慣是形成數學直覺思維，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質。例如猜想探索函數圖象變化規律：

師：畫Y=x的圖象，請猜Y=∣x∣的 圖象，并列表畫圖象。

生(輕聲說)：好象V形。

師：對!請說明理由。

生：因為Y=∣x∣≥0，所以只要將Y=x在第Ⅲ象限的圖象以x軸為對稱軸折向第Ⅱ象限就成為Y=∣x∣的圖象，呈“V”形。

師：很好! 大家明白了沒有(邊畫圖邊解釋)?請再猜想Y=∣x∣+1、Y=∣x∣+2、Y=∣x∣一3的圖象，并畫之，再比較之，發現了什么?

眾生：是圖象平移。

師：對!誰能不用列表畫出Y=∣x∣+4的圖象來?

大家舉手，連平時不舉手的一位同學也舉起了手，由他試一試。另一位同學輸入電腦，證明正確，大家為之高興。

作業：由Y=∣x∣+C 猜想探索Y=∣x+C∣

經過“猜想探索”的教學探索，我們發現許多求知的眼睛，這些眼睛無不閃著智慧之光，照亮著人們沿著“猜想探索”之路，去探索美好的世界。

因此，在教學過程中，教師應該鼓勵學生憑直覺大膽地進行猜測，先理出大致的總體的思路，再具體著手推理、運算。同時，還要不斷地糾正學生的一些壞習慣：一拿到題目，匆匆讀完后就進行具體的運算。有了這種壞習慣的學生往往只見局部不見整體，解題時手忙腳亂，經常忙了很長時間才發覺是錯的，由于考試時間有限，每道題目都蜻蜓點水般算幾個簡單的得數，感覺每道題目都會點，就是不能得分。教學中，要有意識地使學生養成這樣的習慣：在理清思路后，運用所學知識、原理、方法列出數學方程，然后作出評價決斷，判斷所列方程是否正確?判斷問題所包含的數學情景是否都已經表達出來了?判斷所列方程是否可解?判斷是否還有補充方程?最后，才是具體運算，得出答案。

三、指導直覺選擇，進一步發展創造思維

對于同一個數學問題，由于選擇了不同的邏輯材料或邏輯通道，就會得到不同的解法。一題多解也由此而來。我們關注邏輯材料的合理組合和邏輯通道的正確選擇。

例如，在平面直角坐標系中，Y軸的正半軸上(坐標原點除外)有兩個點A，B，試在X軸正半軸上(坐標原點除外)確定一點C，使∠ACB取得最大值。

這是一道較抽象的命題，可通過代數計算、三角方法、平面幾何方法等多種方法破解，初中學生卻無從下手。此題目的是讓學生體驗抽象命題直觀化，引發直覺聯想和洞察，對邏輯材料作出正確選擇，實現問題解決的過程。

1．從結論引出直觀作圖

我們可先作∠AC1B，∠AC2B……∠ACB……其中∠ACB是最大的角，其他角都比它小。(圖1)

2．由圖形引發直覺類比

同弧所對的圓周角比圓外角大。上圖的直覺觀察，發現跟圓周角與圓外角有關系，這與圖2非常類似。

3．從圖形引發直覺聯想

若把圖2移到圖1上，則C點在圓周上，也在X軸上(原點除外)，其余點在圓周外，那么C點只能是圓與X軸相切的切點，因為C只有一點，故不可能是X軸與圓的交點。(圖3)

4．由直覺聯想到直覺洞察

作過A，B兩點且與X軸相切的圓，切點確定。則∠ACB就完全確定。

如此抽象的命題，通過邏輯材料的直覺選擇，最后歸結為畫圖操作，直覺思維顯示出奇異的光芒。

總之，讓學生通過“經歷”、“體驗”、“探索”等過程來獲取數學知識與提高能力，這是實施數學素質教育的基礎。讓學生在創設的問題情景中自主探索、合作交流，親歷從直觀想象到發現猜想，然后給出驗證及理論證明的數學構建過程，這正是新課程所倡導的教育理念。

參考文獻：

[1]數學課程標準研制組．全日制義務教育數學課程標準解讀(實驗稿)[M]．北京師范大出版社，2002．

[2]林婷．數學教學中探究性學習探微[J]．教學教學通訊，2003，（10）．

（作者單位：浙江仙居縣安洲中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。