淺談高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)

[摘要]高等數(shù)學(xué)既是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，也是一門方法學(xué)科，而導(dǎo)數(shù)又是高等數(shù)學(xué)的重要根基，它學(xué)習(xí)的好壞直接關(guān)系著其他章節(jié)的學(xué)習(xí)效果，因此，導(dǎo)數(shù)的重要性是顯而易見的。本文從導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)出發(fā)，探討如何深化概念的理解來(lái)促進(jìn)導(dǎo)數(shù)章節(jié)的學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)概念 概念題型

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力，在高校的各個(gè)課程中占有重要的位置。從短期角度來(lái)說(shuō)，它對(duì)夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)和提高其他相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)能力有一定的輔助作用，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)說(shuō)，它對(duì)提高綜合科研能力有很大的幫助。但在目前，高校的大部分學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性不高，認(rèn)為較難，學(xué)習(xí)效果不佳，整體教學(xué)質(zhì)量很難提上去。而導(dǎo)數(shù)章節(jié)是高等數(shù)學(xué)的重中之重，具有承上啟下的作用，探討導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)具有重要的意義。

一、導(dǎo)數(shù)的概念

注：函數(shù)y=f(x)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)y=f(x)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件。

二、導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn)環(huán)節(jié)

1.通過(guò)生活中的實(shí)例深化概念理解

導(dǎo)數(shù)既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是一個(gè)比較抽象的內(nèi)容，其定義的方法學(xué)生也很不熟悉，以前數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的定義很少采取這種方式，導(dǎo)致很多學(xué)生一接觸導(dǎo)數(shù)定義就頭暈，難以理解。多元智能理論認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中，要將實(shí)踐知識(shí)與各種符號(hào)系統(tǒng)所體現(xiàn)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。按照這種模式，對(duì)概念的理解是最好的方法。就導(dǎo)數(shù)的概念而言，學(xué)生的實(shí)踐知識(shí)就是他們熟悉的物理中瞬時(shí)速度和平均速度定義，通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生理解：物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0)就是物體在時(shí)刻t0的增量Δt內(nèi)的平均速度v(t0+Δt)-v(t0)Δt當(dāng)Δt→0時(shí)的極限值。即：。就可以充分發(fā)揮學(xué)生的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)。在學(xué)生都理解導(dǎo)數(shù)與速度之間的關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)新的問(wèn)題，即求曲線切線斜率，它是導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景，借助圖形，對(duì)于有一定空間智能的同學(xué)，都能很直觀的得出曲線的切線即可看作由割線向其極限位置逼近，從圖形上形成更深直觀的感受。學(xué)生就容易明白：曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處的切線斜率k就等于割線斜率f(x0+Δx)-f(x0)Δx當(dāng)Δx→0時(shí)的極限。即：。對(duì)導(dǎo)數(shù)定義又有了更深層的理解。在理解切線的內(nèi)容后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解加速度與速度的關(guān)系，通過(guò)騎自行車的例子，讓學(xué)生感受騎車時(shí)腳使勁的頻率與速度的關(guān)系，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念。總之，實(shí)踐知識(shí)是認(rèn)識(shí)概念的關(guān)鍵，失去實(shí)踐實(shí)例講解的基礎(chǔ)，直接從理論上讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)，效果必然是事倍功半的，所以實(shí)例講解是題型講解的前提。

2.通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念題型深化對(duì)概念的理解

一般來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)的概念題很多，但都是一個(gè)類型，一般在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)舉一個(gè)例子講解，然后改變數(shù)字和形式，出幾個(gè)題目，讓學(xué)生在課堂上用很短的時(shí)間做出來(lái)。舉例可按下例：

已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a， b）內(nèi)可導(dǎo)，求：的值。

這個(gè)題目很簡(jiǎn)單，可把自變量增量設(shè)為3h，當(dāng)h→0時(shí)，3h→0，根據(jù)定義，并調(diào)整系數(shù)：

在講解題目后，教師通過(guò)變化系數(shù)，出幾個(gè)題目，要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)解出，并達(dá)到舉一反三的效果。如果同學(xué)都能做出來(lái)，老師應(yīng)進(jìn)行總結(jié)，把所有的系數(shù)換為字母，如

的形式，按照上面的方式，求出該導(dǎo)數(shù)定義類型的通解，最終實(shí)現(xiàn)概念理解“從特殊到一般”、“從具體到抽象”以及類比等研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，深化對(duì)概念的理解。

3.樹立教師引導(dǎo)者角色，鞏固教學(xué)質(zhì)量

在以上兩個(gè)步驟下，教師要樹立引導(dǎo)的角色，通過(guò)對(duì)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)科最新發(fā)展趨勢(shì)的剖析，充分挖掘教材的背景材料，找準(zhǔn)了“瞬時(shí)速度”與“導(dǎo)函數(shù)”，“速度”與“導(dǎo)數(shù)”的類比，引導(dǎo)學(xué)生從情感上認(rèn)可和進(jìn)入認(rèn)識(shí)“導(dǎo)數(shù)”的通道，在概念題型的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐知識(shí)的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的概念，從定義的形式引導(dǎo)他們解決定義的變化形式，使他們真正理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，樹立引導(dǎo)角色，確立學(xué)生的主體地位。

在課后，教師要布置相應(yīng)的作業(yè)，以鞏固課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容，真正理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵。

三、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)對(duì)今后高等數(shù)學(xué)其他章節(jié)的學(xué)習(xí)非常重要，概念的學(xué)習(xí)是關(guān)鍵，不可忽視，本文提出通過(guò)從實(shí)踐知識(shí)認(rèn)識(shí)為前提，概念題型補(bǔ)充來(lái)加深對(duì)定義理解的模式是很可行的，在教學(xué)的過(guò)程中取得很好的效果，可供大家參考。

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（作者單位：山東淄博科技職業(yè)學(xué)院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。