例析中考數學探索性問題

[摘要]探索性問題近幾年在中考中頻頻出現，本文主要將探索性問題分為條件探索型、結論探索型、存在探索型、規律探索型四大類，并結合中考試題對每種類型問題的解題策略進行分析。旨在對各種紛繁的探索性問題進行歸納、整合，幫助學生提高探索性問題的解決能力與水平。

[關鍵詞]中考數學 探索性試題 解題策略

探索是人類認識客觀世界過程中最生動、最活躍的思維活動，探索性問題存在于一切學科領域之中，在數學中則更為普遍。習慣上，我們可以按照命題者對解答者的要求將數學問題分為兩大類：一類是已知和結論都有確定要求的題型；另一類是已知和結論兩者中至少有一個沒有確定要求的題型．我們把后一類問題稱為探索性問題。因此，初中數學中的“探索性”問題特征是命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明的命題，因此，它必須利用題設進行大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索不明確的結論；或由結論去探索未給予的條件；或去探索存在的各種可能性以及發現所形成的數學規律。本文就近幾年在中考中頻頻出現的各種類型略舉幾例加以說明。

一、條件探索型

條件探索型——結論明確，而需探索發現使結論成立的條件的題目。條件探索型問題特征是：缺少確定的條件，問題所需要的條件不是必要條件，即所需補充的條件不能由結論推出。在解決這類問題時，我們常從要已知的結論出發來探求該結論成立的條件，同時，根據自己所給條件作出完整的解答。

例1.AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為劣弧AC上一點，DE⊥AB于點H，交⊙O于點E，交AC于點F，P為ED的延長線上一點。

（1）當△PCF滿足什么條件時，PC與⊙O相切？為什么？

（2）點D在劣弧AC的什么位置時，才能使AD2=DE·DF？為什么？

分析：（1）連OC.要使PC與⊙O相切，則只需∠PCO=900即可。由∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可尋找出△PCF所要滿足的條件：當PC=PF（或∠PCF=∠PFC，或△PCF是等邊三角形）時，PC與⊙O相切。

（2）要使AD2=DE·DF，即ADDE=DFAD，也就是要使△DAF∽△DEA，這樣問題就較容易解決了。

說明：本題是條件探索性問題，在解決這類問題時，我們常從要已知的結論出發來探求該結論成立的條件。如第(1)小題中，若要PC與⊙O相切，則我們需要怎樣的條件。第(2)小題也是如此。

二、結論探索型

結論探索型問題通常是結論不確定或不惟一，其特征是缺確定的結果，而且所給條件不是結論的充分條件。解題需通過對已知條件的探索來確定結論是否成立或會有那些結論。通常需要對問題進行分類討論。當命題的結論不惟一確定，則需要按可能出現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果。

說明:本題結論存在不確定性需要分類討論。

三、存在探索型

存在性探索問題是指在某種題設條件下，判斷具有某種性質的數學對象是否存在的一類問題。解題的策略與方法是：先假設數學對象存在，以此為條件進行運算或推理。若無矛盾，說明假設正確，由此得出符合條件的數學對象存在；否則，說明不存在。

（4）除（3）中所求的P0點外，在拋物線上是否還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點P（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點P，請說明理由。

分析：本題第３、４小題是存在探索型問題，需要先假設存在點P使得△ABP為等腰三角形，然后求得點P。

四、規律探索型

規律探索問題是根據已知條件或所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，提示和發現題目所蘊含的本質規律與特征的一類探索性問題。解決此類問題常常利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律。

參考文獻：

［1］初中數學新課程標準解讀.

［2］浙教版初中教材.

［3］張遠增.初中數學開放性問題.華東師范大學出版社，2005，5.

［4］全國歷年中考試題.

（作者單位：浙江義烏市賓王中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。