小學數學思想方法及其教學探討

一、什么是數學思想方法

數學，究竟由什么組成的?以往，我們通常把概念、性質、法則、公式、數量關系以及解題方法等作為數學的組成部分。當然，沒有這些組成部分，數學就不存在了。但是，只有這些組成部分，也不是本質意義上的數學，數學至少還包含由這些內容所反映出來的思想方法。

對于數學思想方法的研究已經歷了半個多世紀，但在界定和刻畫適用于義務教育階段(尤其是小學階段)學生所能領悟與掌握的數學思想方法方面，目前積累的研究成果還不夠充分。什么是數學思想方法，只能給出一種解釋和界定，不能像數學中的概念那樣給出明確的定義。即使是解釋和界定，研究者們的看法也不盡相同。那么。什么是數學思想、數學方法、數學思想方法呢?

1、關于數學思想。

在現代漢語中，“思想”解釋為客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。《中國百科全書》認為：“思想”是相對于感性認識的理性認識成果。由此，一般認為，數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是對數學知識內容與所使用方法的本質認識。數學思想是從某些具體的認識過程中提煉出來的一些觀點，具有普遍意義和相對穩定的特征，并在數學學習中潛意識地影響著思維的策略水平。是建立數學模型與用數學解決問題的指導思想。小學數學的知識內容比較簡單，但也蘊含著一些基本的數學思想，如化歸思想、符號思想、分類思想、類比思想、模型思想、數形結合思想、統計思想、極限思想等等。

2、關于數學方法。

方法是指人們在解決具體問題時所采用的方式、手段或途徑。由此，數學方法是指人們在數學活動中的步驟、程序和格式，是具體實施數學思想的手段。一般來說，數學方法不是指通常的數學解題方法，而是指人的思維方法，即數學中思考問題的方法，如分析、綜合、抽象、概括、觀察、試驗、聯想、猜想、歸納、演繹等。

3、關于數學思想方法。

數學思想是宏觀的，是對數學知識、方法、規律的一種理性認識，它更具有普遍的指導意義。數學方法是微觀的，是數學思想在數學認識活動中的具體反映和體現，是處理探索解決數學問題、實現數學思想的手段與工具。數學思想與數學方法是緊密聯系的，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。由于小學數學是基礎知識，內容相對簡單，由知識內容所蘊含的思想和方法很難截然分開，其表現形式往往是一致的。所以，小學數學通常把數學思想和數學方法看成一個整體概念，即小學數學思想方法。

二、小學數學思想方法的教學探討

《數學課程標準》(實驗稿)在“基本理念”、“總體目標”以及“實施建議”中都涉及有關數學思想方法的內容，對數學思想方法的教學提出了新的要求。如在“基本理念”中指出：“……幫助學生在自主探索與合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”這里，實際上是在原有“雙基”的基礎上提出了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。其中，數學思想方法首次被明確地列入學生的培養目標中。

過去使用的《小學數學教學大綱》在“教學內容的確定和安排”中提出：“結合有關知識的教學，適當滲透集合、函數等數學思想與方法，以加深對基礎知識的理解。”這里把學習數學思想方法的目標定位在“滲透”，廣大教師習慣于在加強“雙基”的教學中，適當滲透數學思想方法。因此，我們要轉變觀念，把數學思想方法作為具體的目標進行教學。數學思想方法是蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，學生只有積極參與教學過程及獨立思考，才能逐步感悟數學思想方法。

1、在知識的形成過程中感悟數學思想方法。

數學是知識與思想方法的有機結合，沒有不包含思想方法的數學知識，也沒有游離于數學知識之外的思想方法。《數學課程標準》雖然對數學思想方法提出了具體的教學要求，但數學教材是按照學生學習數學的認知特點和數學知識本身的發展規律相結合的方法來編排的，教材內容所呈現的是數學的概念、法則、公式、性質等“有形”的現成知識，而“無形”的數學思想方法則不成體系地分散于教材的各部分中。并且往往是蘊含在數學結論的形成過程中。因此，教學中必須注重展現結論的形成過程，引導學生積極參與，有意識地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的各種數學思想方法。并通過具體的過程來實現數學思想方法的教學。

例如，對“平行四邊形的面積”的教學。首先，教師出示如下兩個圖形，問：“除了數方格的方法外，還可以怎樣求出它們的面積?”引導學生用割補法使圖形等積變換成長方形，再用長方形的面積公式求出面積。

接著，教師出示一個平行四邊形，問：“不用數方格的方法，怎樣求平行四邊形的面積?”由于前面已滲透了轉化的數學思想方法，學生面對“計算平行四邊形面積”這一新問題時，就會很自然地想到把它轉化成長方形，并根據平行四邊形與割補后長方形之間的關系推導出平行四邊形面積的計算公式。

教師在引導學生掌握基礎知識的同時，關注了數學思想方法的教學。學生在嘗試運用轉化思想的過程中，體驗了這種思想的實質，強化了自覺運用數學思想方法的意識。

2、在知識的發展過程中理解數學思想方法。

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象與概括。實踐證明，任何一種數學思想方法都不能很快地被學生所掌握，它與數學中的一些重要概念一樣。需要學生在數學活動中積極實踐、反復體驗，不斷地積累，經歷一個較長的認識過程，才能逐步理解和掌握。教材在呈現顯性的數學內容時，一般是采用逐級遞進、螺旋上升的原則，但數學思想方法是隱性的，教材中看不出對其教學的遞進性與上升性。對數學知識內容的教學可以依據教材。但對數學思想方法的教學依據是什么呢?在對某個知識點進行教學時，應突出什么數學思想方法?數學知識發展了，數學思想方法是不是也要得到相應的發展呢?因此，必須加強對數學思想方法教學的計劃性，減少盲目性和隨意性。具體地說。要做到長計劃、短安排。

所謂長計劃。是指教師在對教材進行系統分析、理清教材體系及統攬教材全局的基礎上，對數學思想方法的教學做出一個總體設計，提出不同學段的具體的教學要求。

所謂短安排，是指教師依據“長計劃”中的總體設計，深入鉆研教材，挖掘教材中可以進行數學思想方法教學的各種因素，有目的、有層次地進行數學思想方法的教學。只有對教學過程中的每個環節都精心設計和安排，才能準確地把握好教學的度，提高教學的有效性。

例如，對于函數思想的教學。在小學階段，雖然沒有出現“函數”這個概念，但安排了許多與函數有關的教學內容。在第一學段，通過填圖(如右圖)等形式，將函數思想滲透在其中。教師可設計一些卡片，讓算式中的數“動”起來，幫助學生看出運算結果是隨著哪一個數的變化而變化。在這個過程中，教師要充分利用這些內容進行函數思想的啟蒙教學。在第二學段，學生掌握了許多計算公式，如S=vt等。這些公式實際上就是一些簡單的函數關系式。教師可以利用數學中的公式進一步進行函數思想的教學。到了六年級，正、反比例知識涉及兩種相關聯量之間的關系，實際上就是一種函數關系。

如：彩帶每米售價4元，購買2米、3米……10米彩帶分別需要多少錢?在方格紙上描出數對(長度、價錢)的對應點，并回答下列問題：(1)所描的點是否在一條直線上?(2)估計一下，買1.5米的彩帶大約要花多少錢?(3)小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍?

通過一些具體實例，讓學生感受數量的變化過程及量變過程中變量之間的對應關系，引導他們探索其中的變化規律，并嘗試根據變量的對應關系作出預測。這樣，隨著知識的不斷發展，學生對函數思想的理解得到不斷加深。

3、在問題解決的過程中應用數學思想方法。

許多數學知識可以用口授的方法傳遞給學生，而數學思想方法顯然不能。在課堂教學中。如果教師直白地告訴學生什么是某某數學思想方法，那學生只能是一知半解。數學思想方法需要經歷個體獨立的思維活動才能發展形成。換言之，數學教學在使學生初步領悟了某些數學思想方法的基礎上，還要積極引導學生參與數學問題的解決過程，在問題解決的過程中運用數學思想方法，這樣才能使學生真正理解和掌握數學思想方法。

例如，可以引導學生運用數形結合的思想探索某些數學規律。

如果1+3=4=2²、1+3+5=9=3²、1+3+5+7=16=4²，那么，1+3+5+7+9+11+……+19=?

教學的目的當然不是希望學生通過加法運算得到結果。而是希望學生通過解決問題發現規律。為了幫助學生思考，教師可以提供圖形(如右圖)。啟發學生從數與形的聯系中探索規律。