概念建構：做得、悟得

數學概念是對客觀事物中數與形的本質屬性的反映。它不僅是構建數學理論大廈的基石，而且是數學學科的靈魂和精髓。因此，數學概念教學既是“雙基”教學的核心，又是數學教學的重要組成部分。

“數學是對結構的構建而建立起來的?！?皮亞杰語)那么，如何有效地進行數學概念的建構呢?《數學課程標準》指出：“教學中，要創設與學生生活環境、知識背景密切相關且是學生感興趣的學習情境，讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識產生、形成和發展的過程，獲取積極的情感體驗。掌握必要的基礎知識與基本技能?！本哂懈叨葒烂苄耘c抽象性的數學概念的建構，應該使學生的概念學習過程成為一個主動建構意義的過程，讓學生在“做”中“學”、“做”中“悟”，講求“做得、悟得”。

一、尋求概念的本源，激發內在需求，發現中做得概念

每一個概念的產生都有豐富的生活知識背景，舍棄這些背景，直接呈現抽象的概念，不僅使學生感到茫然，而且失去了培養學生概括能力的機會。因此，概念教學中，教師應創設尋求概念生活本源的有趣情境，激發學生探究新知的內在需求，引導學生像數學家那樣去“做數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，在建構概念的同時，培養他們的創造精神。

片斷一：教學“比例尺”

師：日常生活中，我們常常要把一些物體的形狀畫到紙上。請同學們將橡皮的底面。按原來的樣子畫到你的本子上。(學生操作，然后指名說一說畫出的是什么圖形，長與寬各是多少)

師：請將文具盒的底面，也照原來的樣子畫到本子上。有什么不一樣?(學生感覺長方形比較大，本子快畫不下1

師：教室的地面也是長方形，長10米、寬6米，請你把它也照原來的樣子畫到你的本子上。

生：太大了。本子畫不下。

師：那怎么辦呢?

生1：找一張很大的紙把它畫下來。

師：你的想法不錯。可找這么大的紙不容易。

生2：我有個辦法，把它變小畫出來。

師：你的想法很有創造性!可怎么變小呢?不能失去原來的樣子!

生3：長與寬都減去一樣的長度。

生4：長與寬都縮小一樣的倍數。

師：我們一起來試一試，好嗎?將文具盒底面的長與寬都減去3厘米，畫一畫；再將文具盒底面的長與寬都縮小2倍，畫一畫。

師：與原來的長方形比一比，哪個更像原來的樣子?數學中，我們常常要將物體形狀的實際大小按照一定的倍數畫出來。

師：老師將教室地面的樣子畫了出來。想不想看?

出示：

師：你知道老師是怎樣畫的嗎?圖上的長和寬與實際的長和寬是什么關系?同桌之間交流一下。

生5：圖上的長是實際長的1/100，圖上的寬是實際寬的1/100。

生6：實際的長是圖上長的100倍，實際的寬是圖上寬的100倍。

生7：圖上的長與實際長的比是1:100，圖上的寬與實際寬的比是1:100。

師：圖上的長與圖上的寬都稱為圖上距離。實際的長與實際的寬都稱為……

生：實際距離。

師：我們把這幅圖與教室地面的關系用一句話來表示，即圖上距離與實際距離的比是1:100(1/100)，數學上把它叫做比例尺。

師：什么是比例尺?剛才這幅平面圖的比例尺是多少?表示什么意義?

師(出示幾幅不同的地圖)：生活中，你在哪兒見過比例尺?(引導學生說一說圖中比例尺的意義)

比例尺從數學的角度上來說，其實質是一個比；從生活的本源來講，它是人們繪圖時產生的一種需要，即把實際物體按一定的比率縮小或放大，物體各個部分的大小與實際是符合一定的比例的。教學中，我抓住這一最近發展點，創設了把物體的底面畫在紙上的活動情境，在真實的體驗中，引導學生思考交流。使比例尺的意義巧妙生成。學生在動手探究的活動中。“動態”經歷了比例尺“靜態”概念的形成過程，形象地“做”得了比例尺這一概念，享受到探究成功的快樂。

二、豐富概念的表象。引發內省觀照，交流中悟得概念

建構主義認為，學生知識的獲得是基于一種經驗和舊知的建構，在建構中充分展開操作活動數學化、數學材料邏輯化與教學知識實踐化的過程。皮亞杰認為，在操作活動數學化的過程中，要讓學生積累豐富的感性經驗，再在這個基礎上作反省抽象，從而認識概念的本質內涵。

數學概念是理性的濃縮，它源于經驗，應倡導“結合學習者的經驗進行教學”(杜威語)。數學概念的學習應給學生提供豐富的實際原型，讓學生獲取豐富的感性經驗，并通過操作、觀察、比較、反思等活動“悟”出概念，從而達到透徹的理解與掌握。

片斷二：教學“平行與垂直”

(教師拿著兩枝鉛筆，讓鉛筆從手中自然落下)

師：這兩枝鉛筆掉到地上后，它可能會形成哪些圖形?請同學們先獨立思考，然后用小棒代替鉛筆擺一擺，看你們小組有幾種擺法，最后小組長把擺法貼到展示板上。(小組活動)

師：很多小組既有分工，又有合作。下面，讓我們一起來分享大家的研究成果吧!

學生展示：

師：每個同學先認真觀察、獨立思考，然后再小組討論交流自己的觀點。

師：請一個小組的代表來說說他們的觀點，其他小組注意傾聽。

生1：第(1)、第(2)為一組，第(3)、第(4)為一組。

生2：第(1)、第(2)為一組，因為它們差不多平行；第(3)、第(4)都是交叉的。

師：剛才這位同學說第(3)、第(4)都是交叉的，有哪個同學能告訴我，這個“交叉”用數學語言怎么說?

生3：相交。(教師板書：相交)

師：它們有個相交點，叫什么?(交點)第(4)個圖形有交點嗎?(有)其他組還有不同的意見嗎?

生4：第(1)、第(2)為一組，第(3)、第(4)為是一組。因為第(1)個圖形是平行，第(2)個圖形什么也不是，第(3)、第(4)個圖形都相交。

師：很好，你已經知道平行了。

生5：第(2)、第(3)為一組，因為都有一條線斜著；第(1)、第(4)為一組，因為都是直的。

師：有道理嗎?在我們日常生活中，很多物體都用線段來表示，像剛才我們研究的一枝鉛筆、一根小棒都是——

生：線段。

師(出示用藍色表示的一條線段)：如果把這條線段向兩端無限延長，就是一條——(直線)

師(動畫：延長成直線，用紅色來表示)：線段是直線的一部分，這條藍色線段是紅色直線的一部分。

師：如果把這些線都無限延長，想像成直線，現在你們認為應該怎樣分?還要修改剛才的結果嗎?先討論。再交流。

生6：我認為第(2)、第(3)、第(4)為一組，因為無限延長的話，它們都有一個交點，而第(1)個圖形延長沒有交點。

師：第(2)個圖形延長后會怎樣?

生7：相交。有一個交點。

師：第(1)個圖形無論怎樣延長，都不會有——

生：交點。

師：看來，我們在研究兩條直線的位置關系時，不能光看表面，而是要看實質。同學們，當我們對事物進行分類的時候，如果采用不同的分類標準，將會產生不同的結果。按照我們這節課研究的需要，如果把兩條直線按相交和不相交進行分類，你認為應該怎樣分?同意誰的觀點？

師：根據同學們的研究，我們知道了：在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交與不相交兩種情況?，F在，先來研究不相交的情況。

師：請看大屏幕(出示一組平行線)，藍線與紅線怎樣?

生8：紅線與藍線互相平行。

生9：紅線是藍線的平行線，藍線是紅線的平行線。

師：我們每天都在和平行線打交道，你還能找到哪些物體的邊是互相平行的嗎?

(出示圖：黑板、跑道、秋千架、五線譜……)

師：能到生活中找一找嗎?(生答略)

師(出示長方體模型)：你能找到哪些邊是平行的嗎?為什么?

師(將長方體旋轉，使兩條邊不在同一個平面上)：現在它們相交嗎?還平行嗎?

師：哪兒出了問題?我們在研究平行時，要強調什么?

生10：兩條線一樣長。

生11：在同一個平面內。

師：是呀!兩條直線在同一個平面內。

出示練習：下面哪組的兩條直線平行?

這是江蘇省優秀課中“平行”教學的一個片斷。教者首先引導學生觀察兩枝鉛筆(兩根小棒)落地所形成的圖形，感知平行與垂直的生活原型，把教學定位在操作活動上。然后在此基礎上，通過生生、師生間的互動與交流，概括地選取四個有代表性的圖形加以研究，對生活的無序進行了有序的整理。這一過程激發了學生求知的興趣，使學生獲得了生動的、初步的感性表象。下面的教學環節，教者巧妙地以“如何分類”為切入點，順勢導出這節課的關鍵點“相交與不相交”，從線段的相交與不相交引領到直線的相交與不相交。這樣，新知與舊知得到了關聯，學生的思維得到了充分的展現，并在思維的不斷碰撞中，真正領悟“相交”的意義，獲得了豐富的數理邏輯經驗。最后從生活中找“平行”和動態演示學具的再反思，既是知識的實踐化。更是對概念本質的進一步完善、提升與領悟。

弗來登塔爾說過：“學一個活動最好的方法是做?！备拍畹慕?，教師應通過合理的情境創設、有效的活動操作，讓學生自己去經歷概念的形成過程，在做中悟。