分類討論在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)。將數(shù)學(xué)對象分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研究與求解的方法，叫做分類討論的方法。分類討論是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。解答分類討論問題時，其基本方法和步驟是：先確定討論的對象及范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)(即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏)，然后對所分類逐步進(jìn)行討論。獲取階段性結(jié)果，最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。下面，通過實(shí)例予以說明。

一、疑難問題

例1 學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)和音樂四個課外學(xué)習(xí)班，每個學(xué)生最多可以參加兩個班(可以不參加)。問至少在多少個學(xué)生中，才能保證有兩個或兩個以上的同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同?

分析與解：本題是一道以抽屜原理為背景的題目，但要構(gòu)造“抽屜”與“物品”，則必須通過分類討論。顯然，所有的學(xué)生可以分為三大類：(1)不參加課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，只有一種情況(c⁰₄或用枚舉法)；(2)參加一門課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，共有四種情況(c¹₄或用枚舉法)；(3)參加兩門課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，共有六種情況(c²₄或用枚舉法)。

于是，問題轉(zhuǎn)化為至少將多少個物品放人11(1+4+6=11)個抽屜里，才能保證某個抽屜中有兩個或兩個以上物品。由抽屜原理易知至少需12個物品，即本題答案為12個學(xué)生。

在本題中，分類討論的運(yùn)用是將疑難問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的關(guān)鍵。

二、繁雜問題

例2 數(shù)一數(shù)下圖中有幾個正方形?

分析與解：本題雖然幾乎不需要任何知識，但學(xué)生解題時極易多數(shù)或漏數(shù)。其原因就在于他們沒有進(jìn)行分類討論。圖中正方形可分為四類：(1)單個的小正方形(1×1)16個；(2)四個小正方形拼成的正方形(2×2)9個；(3)九個小正方形拼成的正方形(3×3)4個；(4)十六個小正方形拼成的正方形(4×4)1個。因此，圖中共有1+4+9+16=30(個)正方形。

從上述分析中不難發(fā)現(xiàn)，將一個繁瑣的問題通過分類討論，分成幾個小問題。再各個擊破，問題就容易解決了。

三、參數(shù)問題

例3 兩根同樣長的繩子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的長?

分析與解：第一根繩子剪去3／10米，其值是固定不變的；第二根繩子剪去3／10，則跟繩子原長有關(guān)，即繩子原來越長，剪去的就越多。所以，必須分類討論。

設(shè)繩子長為a米，不難得出a=l時，兩繩減去一樣多，是臨界值。則：(1)01時，3a／10>3／10，第一根繩剪得少，剩下的較長。

這道題中，參變量(繩長)的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果。由于繩長未知，只有對參變量的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，才能將問題說清楚。

對于這種含有參數(shù)的問題。或其他一些涉及數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)的問題，只有分類討論才能充分考慮到各種可能，保證解題的完整。

誠然，在上述問題中，分類討論發(fā)揮著重要且特殊的作用，決定著解題的思路和途徑，若能靈活掌握運(yùn)用這種思想方法，就可輕松而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忸}。