關于哈爾濱市２００７年中考數學壓軸題創編設計的思考

2007年是哈爾濱市新課程改革以來的首次中考.在命題過程中，親耳聆聽了各位專家的教誨，與同伴共同學習、共同研究、交流思想，使我們對新課程的認識獲得了新的提升.下面結合幾道中考題的命制，談談感想.

一、中考數學第20題是一道區分度較高的創編題.此題以“能力為立意”，考查了學生分類討論的思想及綜合運用幾何知識解決數學問題的能力.試題創編過程如下：

（2）點C1從點C出發，沿著線段CB向點B運動.同時點A1從點A出發，沿著BA的延長線運動，點C1與點A1的運動速度相同，（如圖6）A1F1平分∠BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1 E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1、A1C1與AB三者之間的數量關系，并證明你的猜想.

（3）在（2）的條件下，當AB=4，A1E1=3， C1E1=2時，求BG的長.

【反思】

1.關于雙點運動的問題，要特別注意同時、等速及運動停止時的清晰表述.

2.要特別注意此題存在性的論證.

命題人員經過研討發現，第2問中關于速度的表述確實不夠嚴謹，并進行了如下修改：

修改一：點C1從點C出發，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A1從點A出發，沿著BA的延長線運動，點C1與點A1的運動速度相同，當動點C1停止運動時，另一動點A1也隨之停止運動.如圖6，A1F1平分∠BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1、A1C1與AB三者之間的數量關系，并證明你的猜想.

【研究】

在研討第（3）問的過程中，發現了兩個問題：

①當給出A1 E1=3， C1 E1=2的條件時，邊長AB已經可求了，無需再給出AB=4的條件.

②求BG時需用到三角形相似的有關知識，而28題第3問也用到了三角形相似的有關知識，這樣知識點出現了重復，為了解決這一問題，經進一步研究發現，在點A1與點C1的運動過程中，DF1的長始終等于A1D的長，這樣，可運用勾股定理及等腰三角形有關知識可求出DF1的長，為此，對第3問進行了如下修改：

修改二：在（2）的條件下，當A1E1=3， C1E1=2時，求DF1的長.

【啟發】 通過對題目的反復研究，可以使我們逐步發現數學中最本性的問題，而這恰恰是提高解題能力的關鍵.

【反思】命題人員運用平面解析幾何的知識，對第3問從新的角度給予了解答，并從中發現在求DF1時，只需給出條件A1C1 =5即可，無需再給出兩個條件A1E1=3，C1E1=2，但這樣問題又過于簡單了，為此對第3問做了進一步的修改.

修改三：在（2）的條件下，當A1 E1=3， C1E1=2時，求BD的長.

三、中考數學第28題將一次函數、三角函數、直角坐標系、動點、相似三角形等有關問題比較自然地聯系起來，有計算、有探索，有效地考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力.此題是以動點問題與其他數學知識相結合構造的綜合題，有一定的層次性，也滲透了函數思想、方程思想及分類討論思想等.

28題初稿：

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標系中，AD//BC，點C（3，-2），D（2，2），直線y=kx-2，經過點H（-1，-1），BC交y軸與點E.

【反思】①把AD∥BC改為上底與x軸平行，下底BC交y軸與E點更加嚴密，而直線y=kx-2可直接敘述為直線HE，故可將直線y=kx-2略去.

②第2問與第1問求解析式重復，考慮修改為“在動態幾何中建立函數關系式”比較合適.

③第3問改變點Q的運動方向，及動點Q沿梯形各邊運動一周，提高了題目的難度，但線段DC為無理數，為保證時間t為整數，故把D、C兩點的坐標進行調整.同時將已知條件BC和sin∠B設定為總條件，在問法上改為 “存在性探究題”.

修改一（題中字母有調整）：

（1）求直線AB的解析式.

（2）若點H的坐標為（-1，-1），動點G從B出發，以1個單位/秒的速度沿BC邊由B點向C點運動（點G與點B、點C可以重合），設S△HNE=S，求△HNE的面積S與點G的運動時間t′的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

【反思】①第（2）問中的點G與點E重合時，△HNE的面積S=0，而這在初中解釋不通，因此需注明S≠0，同時要求寫出自變量的取值范圍.

②第（3）問中的“若存在，求出所有的符合條件的點；若不存在，請說明理由”，其中不存在的情況，需加以證明，問題過于復雜，因此需進一步改變問法.

修改二：第（2）問：若點H的坐標為（-1，-1），動點G從B出發，以1個單位/秒的速度沿BC邊由B點向C點運動（點G與點B、點C可以重合），求△HNE的面積S（S≠0）隨動點G的運動時間t 變化的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）.

【反思】第（3）問中的“以P、Q、H為頂點的三角形與△HNE相似”，在課本中沒有找到出處，故改為 “求出所有能使∠PHM與∠HNE相等的t 的值.”

【反思】考慮到沿兩邊運動難度不夠，最后將動點P設計為沿梯形各邊運動一周.

總之，通過對此次中考數學題的命制與研究，我們切身感到，要想提高數學綜合題的解題能力，首先，要加強對數學本質問題的研究，對數學的本性問題認識越清楚，就越能有效地把握解題規律；其次，要自覺經歷“解題實踐——學習探索——反思與提高”的體驗，從根本上提高數學綜合題的解題能力.

（作者簡介：

張雙慶：2003年黑龍江省中考數學命題員，2005年哈爾濱市中考數學命題員、2007年哈爾濱市中考數學命題員.

王慶躍：2006年哈爾濱市中考數學命題員，2007年哈爾濱市中考數學審題員.

林青：2007年哈爾濱市中考數學命題員.）