二次函數中考常考點解析

二次函數屬于人教版全日制義務教育課程標準實驗教科書《數學》中“數與代數”領域內容的重要知識點，它是刻畫現實世界變量之間關系的重要數學模型.在各類檢測中，二次函數的圖像、圖像的特征、函數關系式、函數的性質、運用二次函數及其性質解決簡單的實際問題等，屬重點考試內容.下面通過具體問題探討二次函數的常考點.

考點1：二次函數的對稱軸

例1：(2007年北京市西城區)拋物線y=x2－2x＋1的對稱軸是( ) .

A.直線x=1 B.直線x=-1

C.直線x=2 D.直線x=-2

另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x－h)2＋k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x－1)2，所以對稱軸為x=1，應選A．

考點2：二次函數的頂點

例2：（2007年廣西壯族自治區）已知二次函數y=x2－2x－1，求它的頂點坐標.

思路點撥：可先將函數y=x2－2x－1化成頂點式，再求出頂點坐標.

解：配方得y=x2－2x－1=（x－1）2－2，

由x－1＝0得x＝1，y=－2.

∴二次函數頂點坐標為（1，－2）.

考點3：二次函數的最值問題

例3：（2007年江西省）二次函數y=x2 －2x－3的最小值是.

思路點撥：先求出二次函數的頂點坐標，頂點坐標的縱坐標就是最小值.

解：配方得y=x2－2x－3=（x－1）2－4.

∴頂點坐標為（1，－4）.

∴該二次函數的最小值為－4.

2.如果二次函數在一個實際問題中求最大最小值，除了考慮頂點坐標外，還要考慮自變量的端點值.

考點4：二次函數的平移問題

例4：（2007甘肅省蘭州市）已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，求在新坐標系下拋物線的解析式.

思路點撥：由于是平移，不改變二次函數的開口方向和大小，只改變頂點的位置.把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，則頂點的橫、縱坐標就會比原來減少2個單位.

解：原拋物線的頂點坐標為（0，0），

∴新坐標下拋物線的頂點坐標為（－2，－2）.

∴新坐標系下拋物線的解析式為y=2（x＋2）2－2＝2x2＋8x＋6.

評注：1.二次函數平移，不改變二次函數的開口方向和大小即二次項系數a不變，只改變頂點的位置，所以先求原拋物線的頂點，再根據平移求新拋物線的頂點，利用頂點方程式寫出新的拋物線的解析式.

2.對于本題的平移，也可看成坐標系不動，將拋物線分別沿著水平方向向左和垂直方向向下平移.

考點5：二次函數圖像性質的綜合

例5：

1.（2007年湖南省岳陽市）小明從如圖1的二次函數y=ax2＋bx＋c圖像中，觀察得出了下面5條信息：①a＜0；②c＝0；③函數的最小值為－3；④當x<0時，y>0；⑤當0＜x1＜x2＜2時，y1 ＞2.你認為其中正確的個數為（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

答：C

解：由圖像可知：拋物線開口向上，∴a＞0故①錯；∵拋物線過原點，∴c＝0，故②對；∵拋物線開口向上，其頂點縱坐標為－3，故函數的最小值為－3，故③對；∵拋物線過原點，其頂點坐標為（2，－3），∴當x＜0時，y＞0，故④對；∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，且開口向上，∴當x＜2時，函數y隨x的增大而減小，故⑤對.

2.（2007年浙江省）如圖2，二次函數y=ax2＋bx＋c圖像開口向上，圖像過點（－1，2）和（1，0），且與y軸相交于負半軸.

第1問：給出4個結論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正確結論的序號為.

第2問：給出4個結論：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c=1；④a＞1，其中正確結論的序號為.

考點6：二次函數與其他函數圖像的綜合

例6：（2007年內蒙古自治區呼和浩特市）如圖3，函數y=ax2＋bx與y=ax＋b在同一平面直角坐標系中的圖像大致是（）.

解：在選項A中，二次函數y=ax2＋bx的a＞0，b＝0，而對于函數y=ax＋b來說，a＞0，b＞0，則這兩個函數解析式中的b的取值不一樣，故排除A.同樣，在選項B中，二次函數y=ax2＋bx的a＞0，b＜0，而對于函數y=ax＋b來說，a＜0，b＜0，但是從圖像上來看點（0，b）在y=ax2＋bx 的圖像上，而將（0，b）代入y=ax2＋bx時，y＝0，而不等于b，故排除B.在選項D中，二次函數y=ax2 ＋bx的a＞0，b＞0，而對于函數y=ax＋b來說，a＜0，b＜0，則這兩個函數解析式中的a、b的取值不一樣，故排除D.

評注：（1）本題考查了確定兩函數圖像能否在同一坐標系內的能力，主要辦法是根據圖像采用逐一排除法.

（2）對于二次函數的圖像與a、b、c有這樣的關系，①a與開口方向有關，當a＞0時，開口向上，當a＜0時，開口向下；②b與a和對稱軸與y軸的位置有關，當對稱軸在y軸的左邊時，a與b的符號相同，當對稱軸在y軸的右邊時a與b的符號相反；③c與二次函數與y軸交點的位置有關，當二次函數與y軸交點在y軸的正半軸上時，c＞0，當二次函數與y軸交點的在y軸的負半軸上時，c＜0.綜合以上，可用以下語言概述：左同，右異；上正，下負.

考點7：求拋物線y=ax2＋bx＋c與坐標軸的交點

例7：（2007年天津市）已知拋物線y=4x2－11x－3，求它與x軸、y軸的交點坐標.

解：由x＝0得y＝－3，所以拋物線與y軸交點坐標為（0，－3）.

考點8：用待定系數法求二次函數的解析式

例8：（2007年北京市）已知拋物線y=ax2＋bx＋c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于點B（1，0）、C（5，0）兩點，求此拋物線的解析式.

思路點撥：由于已知三點，所以本題可以采用一般式求拋物線的解析式.但考慮到已知與x軸交點，所以用交點式更簡單.

解：設此拋物線為y=a(x－x1)(x－x2)．(a≠0)，則x1＝1，x2＝5．

所以y=a(x－1)(x－5).

點式.

（3）當題目條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x－x1)(x－x2)，(a≠0).稱為交點式．

考點9：關于求二次函數解式的開放問題

例9：(2007年北京市東城區)有一個二次函數的圖像，3位學生分別說出了它的一些特點：

甲：對稱軸是直線x=4；

乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；

丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．

請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式．

解：設所求解析式為y=a(x－x1)(x－x2)，且設x1＜x2，則其圖像與x軸兩交點分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點坐標是(0，a x1x2).

∵拋物線對稱軸是直線x=4，

∴x1＋x2＝8①

評注：（1）本題中，只要填出一個解析式即可.

（2）本題也可用猜測驗證法.例如：猜測與x軸交點為A（5，0），B（3，0）.再由題設條件求出a，看C是否整數.若是，則猜測得以驗證，填上即可.

（作者單位：湖北省襄樊市第19中學）