基于灰色馬爾可夫鏈的企業盈利額預測

[摘要] 灰色馬爾可夫模型預測兼有灰色預測和馬爾可夫鏈預測的優點，并能針對較短的時間序列數據建模計算。介紹了灰色預測模型和馬爾可夫預測模型的建模方法，并將灰色馬爾可夫鏈模型應用于某企業盈利分析預測。分析表明，該模型具有較強的適用性。

[關鍵詞] 灰色馬爾可夫鏈 預測

一、引言

灰色模型是灰色預測理論的一種重要預測方法，它的突出優點是適用于預測時間短、數據資料少、波動不大的系統對象，只需很少的數據就可建立模型進行預測。灰色預測可以較精確地預測系統的發展趨勢，但是由于預測線是一條光滑的指數曲線，因而對于波動性大的系統的預測精度會降低。馬爾可夫轉移概率預測可以揭示系統在波動的不同狀態區間轉移的內在規律，修正系統因各種隨機作用而產生的波動。灰色馬爾可夫模型由于綜合了灰色預測和馬爾克夫預測的優點，其在時間序列的預測方面具有突出的優勢。

二、灰色馬爾可夫鏈模型預測

1.灰色預測模型

灰色模型是利用微分方程給出系統生成序列長期、持續的變化過程，這一過程通過生成序列轉換得到，還原生成序列就得到系統趨勢作用。由于灰色模型是基于弱隨機性假設和顯著關聯度的要求，所以灰色模型的檢驗包括:殘差檢驗，后驗差檢驗和關聯度檢驗，通常全部檢驗都通過的模型就可以用來做預測，模型檢驗不能通過時，對殘差建立的修正模型可以提高灰色模型的精度。GM (1，1)在灰色預測模型中最常用。

為了弱化原始時間序列的隨機性， 為建立灰色模型提供信息，在建立灰色預測模型之前，先要對數據進行處理， 做累加生成序列。設原始時間序列為

，則累加生成序列為:。然后對生成序列建立如下微分方程:。其中:模型參數a，μ分別是發展灰度和內生控制灰度。微元離散化后微分方程參數估計的矩陣形式為：

，其中:

解微分方程得:

則累減還原得到擬合序列為:

擬合序列可以反映系統原始序列的變化趨勢。再采用后驗差法對模型進行精度檢驗。

2.馬爾可夫預測模型

(1)馬爾可夫鏈

設有隨機過程(T表示時刻的集合)和離散的狀態集，若對任意的整數，條件概率滿足:

則稱為馬爾可夫鏈，并記:表示在時刻m，系統處于狀態i的條件下，在時刻m+k，系統處于狀態j下的概率。將依次排序，可得k階轉移概率矩陣:

(2)狀態空間的確定

一般地， 狀態取灰色模型擬合曲線為中心上下對稱的等寬條形帶，各條形帶寬度不隨時間變化。每個條形區域構成一個狀態，其中任一狀態區間Qi表達為:

式中，Ai、Bi為根據預測值與實測值的偏移大小確定的參數。由于是時間t的函數，也隨時序變化， 即狀態Qi具有動態性。

(3)估計狀態轉移概率矩陣

設數據序列由狀態Qi經過k步轉移到Qj的次數為，狀態Qi出現的次數為mi，則可估計出k步轉移概率:。這里，對于出現觀測的狀態，轉移矩陣的估計等于頻率，對于那些沒有觀測落入的狀態， 記樣本估計為零，不影響模型的擬合與預測。

3.計算預測值

若預測序列目前處于Qi狀態，則考察P(1)的第i行，如果為其中的最大值，那么下一時刻序列最有可能轉向狀態Qj。一般情況下，只要考察P(1)便可解決。如果P(1)的第i行有兩個或兩個以上的概率值相同或相近時，狀態的未來轉向難以確定，此時可以適當考察來確定。當確定未來序列預測值變動的灰區間后，可以用區間的中位數作為最終的預測值:。

三、預測模型在企業盈利預測中的應用

1.原始統計數據

某企業近11年的盈利總額統計數據如表1所示。

表1 盈利總額統計數據

2.建立灰色模型

由＝{7590，7458，7689，8573，8215，8986，9013，10353，11821，12304，13755}，計算得參數。建立模型并求解得到方程:。

對預測結果的精度進行檢查，得到:，，則，小誤差概率，所以預測精度等級為優良。

3.轉移狀態劃分和轉移狀態概率計算

根據歷年統計數據，劃分為如下四個狀態：

將歷年實測值、預測值和四個劃分狀態繪制成圖，形成上下平行對稱的四個條形區域。由圖可得到轉移狀態概率矩陣如下：

確定預測值及其變動區間：

考察一步轉移概率P(1)可知，2006年的年均盈利總額最有可能處于狀態Q3，即在灰區間[14225.1，14705.8]。因此，。

四、結束語

由于灰色模型反映了系統宏觀發展的規律，而馬爾可夫轉移概率模型反映了系統微觀波動的規律，兩者相結合建立的灰色馬爾柯夫模型兼有各自的優點，又充分利用了歷史數據賦予的信息，其預測結果具有較好的精度和可靠性，具有較高的應用價值。

參考文獻:

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。