有趣的計數(shù)問題

王曉梅

關(guān)于m個球隊進行單循環(huán)比賽時總的比賽場數(shù)n的公式是七年級數(shù)學(xué)中有名的“單循環(huán)”比賽問題。每個球隊都和其他球隊賽一場，共賽(m－1)場，則m個球隊總共賽m(m－1)場，但是每兩個球隊之間只需賽一場，上面的比賽場次重復(fù)計算一次，故總比賽場次是：n=m(m－1)／2。這個結(jié)果在七年級幾何計數(shù)問題中有許多有趣的應(yīng)用。

1計點的個數(shù)

例1三條直線相交最多有幾個交點?四條直線相交最多有幾個交點?

分析：把三條直線視為三支球隊，因為兩條直線相交只有一個交點，因此任意一點可看成任何兩個球隊進行的一場比賽，則三條直線相交最多有3×(3－1)／2＝3個交點，同理四條直線相交最多有4×(4－1)／2＝6個交點。

推廣平面內(nèi)n條直線相交最多有n(n－1)／2個交點。

2計線段的條數(shù)

例2在一條直線上畫4個點，共有條線段。畫2007個點共有______條線段。

分析：把A、B、C、D這四個點視為4支球隊，任何兩點間的線段看作任意兩支球隊進行的一場比賽，則圖中線段的總條數(shù)為4×(4-1)／2=6；畫2007個點時有2007×(2007-1)／2=4026042條線段。

推廣一條直線上的n個點共可組成n(n-1)／2條線段。

3計直線的條數(shù)

例3有四個點，其中任意三點都不在同一條直線上，過其中每兩個點畫直線，可以畫幾條?

分析：把四個點視為4支球隊，因為過兩點有且只有一條直線，因此，過任意兩點的直線可看成任意兩支球隊進行的一場比賽，則過四個點可畫4×(4－1)／2＝6條直線。

推廣平面內(nèi)有n個點，每三個點都不在同一條直線上，過其中兩點畫直線，共可畫出n(n－1)／2條。

4計角的個數(shù)

例4如圖1共有______個角，如圖2共有______個角(指0°～180°之間的角)。

分析：因為每兩條射線組成唯一的一個角，所以任何兩條射線組成的角，可以看成任意兩支球隊進行的一場比賽。

因此圖1中射線組成的角的個數(shù)為4×(4-1)／2=6。

圖2中射線組成的角的個數(shù)為50×(50-1)／2=1255。

推廣如圖3。過0點的n條射線可組成n(n-1)／2個角。

5計三角形的個數(shù)

例5圖4中有幾個三角形?

分析：把點B、D、E、C視為四支球隊，任意兩點和A點可組成唯一的一個三角形，因此任意兩點和A點組成的三角形可以看成任意兩支球隊進行的一場比賽，所以圖4中有

4×(4－1)／2＝6個三角形。

推廣如圖5，直線上A1、A2，…。An共n個點和直線外一點0，可組成n(n-1)／2個三角形。