數學物理方程教學的探討

摘要：傳授知識、培養創新能力是現代教育的兩個基本職能，本文對數學物理方程課程的教學實踐、教學方法以及考核制度的改進給出了自己的一些看法。

關鍵詞：數學物理方程; 教學方法; 考核制度

1 引言

數學物理方程通常是指物理學、力學、工程技術和其他學科中出現的偏微分方程，它不僅是應用數學、信息與計算科學等理科專業本科生的一門重要的專業基礎課，而且也是一些工科專業本科生和研究生不可缺少的專業基礎課。本課程的教材已有很多，如[1][2][3]但內容相差不大，主要介紹三類典型的數學物理方程，即波動方程、熱傳導方程以及調和方程。主要授課內容包括方程的導出，各種定解問題的求解方法，如分離變量法、傅立葉變換法、能量積分法等，解性質的討論，以及一般二階線性偏微分方程的分類及其相關的定解問題。隨著面向21世紀專業人才培養方案及教學內容體系改革的發展，本課程的教學時數有所減少。如何在較少的學時內，既能完成既定的教學任務，又能結合已學知識和數學物理方程的發展現狀，最終達到提高學生學習興趣、激發學習主動性等目的，是一個亟待研究的課題。下面作者從數學物理方程的教學方法上提出一點自己的看法。

2 教學方法的探討

2.1 貫穿已學知識

本課程一般安排在大二下或者大三年級，而且在學習前學生已經完成了高等數學、線性代數、復變函數以及常微分方程等課程，具有一定的數學基礎。然而有些課程由于時間間隔比較久，一些學生可能對之前所學知識有所遺忘，因而在教學過程中應不斷幫助學生回憶已學內容，同時啟發學生貫穿已有知識，發掘新知識與舊內容之間的聯系，從而達到鞏固和深化學生在大學數學課程所學到的數學知識，讓學生了解到所學的不同課程并非是孤立的而是相互聯系密切相關的，進而培養學生融會貫通所學課程的能力，提高數學思想對學生的熏陶。例如在推導無界弦的受迫振動解的過程中，可引導學生回憶線性代數中非齊次線性方程組的求解思想，這樣學生既能回顧線性代數的內容又讓學生通過已學知識解決了求新問題解的方法，做到溫故知新的效果。

2.2 借助物理背景

數學物理方程的特點之一是有很強的物理背景，這是很多學生學習本課程的一個困難所在，因為他們不熟悉問題的物理背景，因此在教學中必須克服這一難點。例如講授三個典型方程的導出時，應首先詳細地描述所討論問題的物理現象，再根據物理現象寫出制約條件，然后分析各個物理量之間的關系以及對應的物理規律，最后根據這些規律推導出數學表達式，最終得到相應的方程。這樣有利于學生理解方程中各個量的含義以及方程所描述的現象。事實上，物理背景不僅體現在方程的導出，在求解定解問題中同樣起著重要的作用。如對于下面半無界弦振動定解問題的求解[3]

首先根據定解條件可知，該弦的振動是由端點的振動規律引起。因此在x?叟0部分，弦振動按右行波傳播，故可得到解的形式為u(x，t)=f(x-at)，其中f為任意可微函數。再根據邊界條件可定出當0?燮x?燮at時弦振動的位移為

，而對于x>at，可根據相容性條件當x=at時u(x，t)=0，而弦振動是由右行波不斷向右傳播得到，如果在某一位置波的位移為0，則之后的任意位置位移當然均為0。在這一定解問題的求解過程中借助于物理背景，學生很快就能理解為什么當x>at時u(x，t)=0，而若不介紹物理背景學生就很難理解這一點。

2.3 結合前沿發展及應用背景，拓展學生視眼

隨著時代與科學技術的發展，該課程的某些內容已顯陳舊，因此在教學過程中應適當融入現代知識，讓學生了解其所學知識的前沿發展，拓展視野，也可為部分學生的進一步深造提供一些幫助。例如給出適定性問題的定義時，可適當介紹最近二三十年迅速發展的數學物理方程反問題及其在實際生活中的應用。如針對我校大氣科學和遙感學院的學生，可以借助天氣預報、大氣遙測等這些他們熟悉的實例。又如在講授Fourier變換時，可介紹一下基于Fourier變換的小波分析在信號分析、圖像處理、計算機識別等方面的應用。這樣可以調動學生認識到學好本課程的重要性，也可以為學生進一步深造起到拋磚引玉的作用。

3 考核制度的改進

根據本人多年的教學經驗以及和學生的探討中發現，學生在學習數學物理方程這門課時普遍認為有些偏難，原因是其物理背景很強，而且要求學生有較好的數學功底和邏輯思維能力。然而最終考試一般卻能得到較好的成績，這是因為本科院校必修課程一般要求閉卷考試，這就使得出卷時主要圍繞所學課程的基礎理論，基本求解方法等，而這些內容和課后習題大同小易，因而試卷和平時作業也只是換湯不換藥，這樣就限制了學生分析問題、解決問題以及邏輯思維等的培養。因此本人認為在保持原有期中和期末成績以及平時作業打分的基礎上，鼓勵學生寫讀書報告以及學習小結。例如波動方程定解問題求解這一部分，沒有必要考這些純公式、純積分的計算，這不是學數理方程的初衷。又如在學習二維波動方程初值問題的求解時，一般教課書上都是利用三維波動方程的Poison公式通過降維的方法來求解，而實際上學生之前已經學習了三維情形是用球面平均值的方法來求解，此時可以讓學生自己仿照三維求解的思想去解二維情形，這有利于學生進一步掌握球面平均值法的思想以及推導過程縝密的邏輯性，而實際上也確實有學生想到了這種方法。

參考文獻

[1] 谷超豪. 數學物理方程[M]. 高等教育出版社，2002，9.

[2] 王元明. 數學物理方程與特殊函數[M]. 高等教育出版社，2004，1.

[3] 陳才生. 數學物理方程[M]. 東南大學出版社，2002：44.