“觀察物體”教學的立體視野

“觀察物體”是國標教材中普遍新增的一個內容，大多安排在一至四年級的教材中，且無一例外都以“小單元”的形式出現，最多一兩個課時的教學量。

或許是因為“小”，加之教材上編排的內容直觀具體，形象生動，貼近生活，因此，我們見到的“觀察物體”日常教學大多風平浪靜，輕車而過。老師們對此也覺得毫無懸念可言。不過，我們如果做細致的分析，還是有一些問題是值得深思的。比如，教材中同樣是觀察一個物體，為什么觀察結果有的以三維立體圖形呈現(如圖1—1)，有的又以二維的平面圖形出現(如圖1—2)?

再比如，觀察一個長方體，站在不同的位置可以看到不同的面，在研究“同時最多只能看到三個面”的經典結論時，有學生卻提出可以看到四個面(當觀察的長方體特別小時)的疑問。對此，從數學的角度又該作怎樣的解釋呢?

要回答這些問題，我們必須對“觀察物體”的教材編排和教學理解有一個宏觀視野。 在《數學課程標準(實驗稿)》中，“觀察物體”是安排在“空間與圖形”板塊的內容之一，歸屬于“圖形的認識”這一分支。其具體目標為：“辨認從正面、側面、上面觀察到的簡單物體的形狀”(第一學段)；“能辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對位置”(第二學段)；“會畫基本幾何體的三視圖(主視圖、側視圖、俯視圖)，會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型”，“通過實例了解中心投影和平行投影”(第三學段)。

從三個學段中教學內容的安排，特別是第三學段較為數學化的表述中可以看出，小學階段“觀察物體”的編排與初中數學中提到的，“投影與視圖”有著較大的關聯。

所謂“投影與視圖”，我們可以這樣來理解：用一組假想光線將物體的形狀投射到一個面上去，稱為“投影”。這個面上得到的圖形，也稱“投影”。投射線從一點出發的稱“中心投影”(如圖2—1)，投射線相互平行的稱“平行投影”(如圖2—2、圖2—3)。平行投影中，投射線與投影面傾斜的稱“斜投影”(如圖2—2)，垂直的稱“正投影”(如圖2—3)。用“正投影”法將所見物體的輪廓繪制出來的圖形稱為“視圖”。從物體的前、后、左、右、上、下方觀察得到的正投影圖分別叫做主視圖、后視圖、左視圖、右視圖、俯視圖、仰視圖。

“投影與視圖”的知識在小學只是一些粗淺的滲透和鋪墊，因此教材中沒有提出“投影”與“視圖”的名稱，教學參考用書雖有所提及，但也沒有做更多的說明。不過，教材中很多的示例其實就是“投影與視圖”的直接運用。比如，蘇教版三年級的“觀察物體”單元(如圖3—1)和四年級的“觀察物體”單元(如圖3—2)中均是“正投影”后的視圖。尤其是四年級中對組合體的觀察，如果不是采用“正投影法”，無論觀察者站在哪一個角度、哪一個點看，都絕不可能將左右兩個物體的正面觀察成純粹的平面圖(二維圖)。

而在北師大版國標教材四年級“觀察物體”單元出現的示例(如圖4—1、圖4—2)，則是“中心投影”的初步滲透，此處不再贅述。

值得注意的是，在小學教材“觀察物體”內容中除了滲透和運用“投影與視圖”的知識原理外，還比較多地運用了美術繪畫中的“透視”原理。比如“平行透視”(也叫做“焦點透視”“一點透視”)，繪圖時物體中的輪廓線向視平線上某一點消失，它具有近大遠小、近高遠低、近粗遠細、近寬遠窄等特點。再比如“成角透視”(也叫“二點透視”)，繪圖時物體的輪廓線向視平線上某二點消失。

像圖5中貝貝狗“站在地面看”“抬起前腿看”“爬上桌子看”時所得到的觀察圖，都是近大遠小的“焦點透視”圖。如果采用“正投影法”。桌子的后兩條腿要么就看不到，要么就不會都在桌肚里面。其實，翻開各大版本的新課標教材都可以發現，學生們在一二年級學到的觀察物體內容，大多是用照相機拍攝圖片(或參照照相機拍攝圖片的模型)，照相機成像的基本原理就是“透視”，它與使用平行光線“正投影”形成的視圖有明顯的不同。

從這個角度出發，我們再來思考學生在觀察長方體時看到四個面的現象。有一個細節我們可能沒有關注到，學生在觀察物體時都是同時用雙眼觀察的，當擺放在眼前的長方體的寬度比兩眼寬度窄時，兩眼的“余光”很容易擴大觀察的范圍，左眼看到物體的左側面、右眼看到物體的右側面是很正常的(我們只要隨手拿一本書放在眼前，書脊對著自己，就可以看到這種現象)。問題是，我們說“最多只能看到三個面”這樣一個定論性的判斷，實際上是有一個前提條件，那就是要“從一點觀察”。在蘇教版小學數學三年級上冊《教材教師用書》第八單元“觀察物體”的教學目標中這樣寫道：“知道從一個角度觀察長方體形狀的物體，最多只能看到3個面”；在教材簡析和教學建議中也提到，“教材先通過對生活中常見的一些長方體形狀物體的觀察，引導學生認識物體的正面、側面和上面，并初步體會不管從哪個角度觀察，最多只能同時看到長方體的3個面”。在這里，就多次強調了“最多只能看到3個面”的前提條件是要“從一個角度觀察”。在小學里，主要認識正面、側面、上面等大方位，不細致到很具體的觀察角度。課程標準中的示例、教材中大多數的圖例中的觀察者都是站在物體的上、下、左、右、前、后等位置上，方位角度區別都很大，細小的角度差異所形成的觀察結果差異都忽略不計了。如本文開始的圖1—1、圖1—2，無論采用繪畫中的“透視圖”還是采用“正投影視圖”，都不會影響教學組織和學生在所處方位區別度很大時的直覺判斷。但人在觀察一個特別小的長方體時，人的兩只眼睛是完全可以看做是“從兩個角度在觀察”。我們都有這樣的經驗，如果交換著閉合左右眼看眼前的某一個事物(比如一根電線桿)，它好像就在動來動去。因此，出現這種情況時，我們只要讓學生閉起一只眼，只從一個角度觀察就行了。

其實，教材編寫者對此是頗為有數的。在北師大版四年級下冊第四單元《觀察物體》的教學說明中有這樣一段文字：

本單元的主要內容是“節日禮物”(見上述圖5)和“天安門廣場”。教材提供了一些照片(或畫面)。旨在讓學生了解情境中各物體的相對位置。然后再觀察從其他位置拍攝(或看到)同一情境的照片(或畫面)。判斷這些照片(或畫面)分別是從什么位置拍攝(或看到)的；或者提供這樣的畫面，畫面中的觀察者在觀察物體，他所觀察的對象處在另一個物體的上面(或后面)，通過觀察這個畫面，來判斷畫面中觀察者從高低(或遠近)不同的觀察位置，他所觀察的對象在其視覺中所對應的范圍。

本單元選擇的學習任務，都以照片或畫面來呈現，就是要幫助學生主動地參與觀察、想象、推理、判斷等數學活動，在完成學習任務的過程中，空間觀念獲得進一步發展。

在我看來，“都以照片或畫面來呈現”是不是就暗含著“從一個角度觀察”的數學原理呢?在研究這個問題的過程中，筆者曾對很多數學老師進行了訪談。發現有相當一部分老師也都曾關注過在特定的情況下可以看到一個長方體的四個面的現象。我想，這樣一個普遍性的問題，教材編者肯定也會意識到，但是教材為什么對此沒有進行適當注解，是忽視還是有意模糊呢?我個人覺得不一定是忽視。一方面，“從一個角度觀察長方體形狀的物體，最多只能看到3個面”這樣的結論本身就是一個比較抽象、比較概括、比較數學化的定論；另一方面，小學數學本就是個初級階段、模糊的數學，有不少的概念在小學里都是粗糙的、不嚴密的。有些時候在“嚴格的不懂”和“不嚴格的懂”之間，小學數學就是選擇了“不嚴格的懂”。如果我們把這個問題嚴密地表述為：從一點、透視……這樣的表述無疑是科學的，但是作為小學中低年級的孩子面對這樣嚴密的表述，他們又能夠理解到什么程度呢?

如此看來，面對任何再“小”的數學內容的教學我們都要有一個立體視野，這樣的立體視野除了系統的知識結構、宏觀的教材體系外，還應有立體化的教學思維。