讓數學思維與操作活動共舞

著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“學生應該再創造數學化而不是數學，抽象化而不是抽象，圖式化而不是圖式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，用語言描述而不是語言……”我們可以理解為，在指導學生數學學習的過程中，教師應該把著眼點放在學習活動的過程而非結果上，要讓學生主動經歷各種“化”的過程，在這個“化”的過程中自主地建構起圖式、算法、概念等數學知識、意象。教師在此過程中，要有效地幫助學生將“客觀的數學知識”轉化為學生“主觀的數學知識”，并逐步將數學思想方法轉化為學生的思想方法。因此在低年級計算教學中，讓學生進行操作活動時，我們應該注意以下幾個問題。

一、關注學具操作的過程，讓學生自主探索計算策略

低年級的計算教學活動，一般是離不開學具操作的。但這個操作過程，到底讓學生有些什么收獲、對促進算法建構有些什么幫助呢?馬克思把自覺自由的活動視為人的內在本質。在數學操作活動中，我們不妨把這種“自覺自由”理解為讓學生有目的地操作、能主動地操作、有策略地操作。

低年級學生在遇到新的計算問題時，無需老師的指令，一般會自發產生使用學具的念頭。因為這由他們的思維特點所決定的。在這種主動操作的情境中，學生會對自己從事的操作活動進行一定的策劃部署，往往會出現一些不同的操作策略。并且實現異曲同工之妙。例如在探索“13-9=?”時，無需老師提醒擺法，學生會根據已有經驗進行操作，其操作策略應是多樣的：其一，從13中逐一地數掉9個，最后剩下4；其二，先從10中去掉9，所剩下的1與3合成4；其三，先從13中數掉3得10，再從10中數掉6，最后得4。當然在多種操作方法中，第一種是最“原始”的，不宜提倡，后兩種均反映了學生的創造性思維活動過程。具有思維價值。在小組活動中，這些不同操作方法會得以展示、比較，先進的方法將會影響原始的方法，在互動交流中，學生探索到了解決新的計算問題的妙法。在此過程中，教師應充分相信學生，給予足夠的操作活動時空，放手讓學生自主探索。

二、關注數學抽象的過程，讓學生自主建構算法圖式

數學家華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”可見在計算教學時把數與形結合起來，通過動手操作，引導學生從數學方面進行形象思維，數形結合，深刻幫助學生理解算理，是十分重要的。低年級計算教學尤應如此。

當學生通過操作活動獲得算法的物化圖式后，教師應當引導學生經歷有效的數學抽象過程，通過學生頭腦中的智力操作，使物化圖式轉化為心理圖式。因此，教師要科學合理地設計數學抽象的過程，讓學生經歷從具體到半具體。再到抽象的這一完整數學化過程，主動建構起頭腦中的算法圖式。比如教學“13-9”時，在學生通過操作學具得出正確結果后，教師應該引導學生將外顯的操作過程進行分步抽象、逐步內化。在交流擺小圓片過程的基礎上，教師可以利用課件引領學生進行靜態觀察和反省抽象，歸納呈現出如下圖(左)的“破10法”的半直觀、半抽象圖式。接著啟發學生進行算理抽象成下圖(右)，用算法化來完成心理圖式的轉化。當這種算法圖式得到熟練運用之后，外化的直觀動作便會漸漸取消，形成內化的思維活動，學生的計算能力就會在其中得到了有效培養。這樣的操作活動過程才是有價值的，才能為后續的學習奠定基礎。

三、關注語言表述的過程，讓學生自主內化運算法則

語言是思維的外殼，是思維的物質形式。在計算教學中，算理算法的內化必須伴隨著語言的內化過程而內化。因此在指導學生通過實踐操作探索計算方法時，必須注意把動手操作與動腦思考、動口表述有機結合起來，這樣才能讓學生的感知有效地轉化為內部的智力。

教師應該充分關注語言表述、內化算法的過程。讓這個過程真真切切地由所有學生來體會、完成。我們可以為語言表述算法的過程設置一定的階段，先讓中下等學生打頭陣，讓他們充分暴露出認知上的真實問題，使其成為課堂交流討論的寶貴資源，讓這些學生在充分的參與中真正理清算理、掌握算法。對這類學生的語言表述，我們不能提過高的要求，只要學生能把算法用較直觀的語言加以描述即可，不必過分強調精準。對部分學生在初次操作、抽象之后仍不能進行語言概括表述的，教師甚至還可以讓其再次回顧操作過程，逐步幫助其進行抽象、概括、表達，也可以讓其與其他學生的思維進行碰撞，擦亮他們自己頭腦中的思維火花。