讓操作更有探究的“脊梁”

著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維從動作開始。切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”小學生的思維正處在以具體形象思維為主向抽象邏輯思維過渡的階段，他們對數學的理解往往是從動手操作開始的。作為一種認識活動，操作一方面是手與眼協同活動，是對客觀事物的動態感知過程；另一方面，又是手與腦密切溝通，把外部動作系列轉化為內部語言形態的智力內化方式，這兩方面意義的融合，構成了操作活動的特定內涵。由于操作活動更能引起和促進學生把外顯的動作過程和內隱的思維活動緊密結合起來，使之成為“思維的動作”和“動作的思維”，所以，在推進學生內化知識、發展邏輯思維和空間觀念以及加強意義識記等方面起著積極的作用。在教學實踐中，很多老師已認識到操作的重要性，也進行了一系列操作活動，收到了一定的效果。但筆者發現許多操作是為操作而操作，學生沒有感受到明確的目的和要求，沒有進行深刻的體驗和深入的探究，缺少數學地思考。致使操作沒有充分發揮其為培養學生探究能力和數學思考而服務的功效。現結合一些實例談談筆者的想法和做法：

一、從接受走向設計

操作不僅是為了讓學生獲得活動經驗和相關知識，它還應當擔當起培養學生學會自主探究和數學思考的任務。筆者發現許多操作都是由老師事先設計好的，學生根本不用思考怎樣設計，更不知道為什么這樣設計，他們只是在完成老師下達的一個個指令，被動地接受操作。

一位老師在教“平行四邊形容易變形”的性質時，問：我們已經知道三角形具有穩定性，平行四邊形具有穩定性嗎?學生眾說紛紜。于是，老師拿出平行四邊形框架模型，請幾個學生上臺向多個方向拉動模型。學生發現：平行四邊形容易變形。于是，老師就開始引導學生舉例說明生活中哪些地方應用了這一性質。

上述教學，學生只是在接受操作。老師未能激發學生探究的主動性和積極性，學生也未進行深入探索。為此。筆者改進如下：

師：你打算怎樣研究平行四邊形是否具有穩定性呢?

(學生自由發表意見)

師：請同學們回想一下。當時我們是怎樣研究三角形具有穩定性的?

生：我們先聯系生活，再猜想。因為生活中許多活動的東西用上三角形就可以固定了，所以我們猜想三角形具有穩定性。

生：我們拉三角板，發現怎么拉也不變形。

生：我們拉許多三角形框架模型。發現怎么拉也不變形。

師：現在，你猜想平行四邊形具有穩定性嗎?

生：我認為平行四邊形不具有穩定性。因為我發現校門口的電動門上有許多平行四邊形。門可以伸縮。

生：還有包裝蘋果的網兜上有許多平行四邊形，網兜可以拉動。

……

生：用木條做幾個不同形狀的平行四邊形框架模型。也來拉一拉，看是否拉得動，如果拉得動就不具有穩定性。

這時，教師再讓學生親手拉多個不同形狀的平行四邊形框架模型。學生發現平行四邊形真的容易變形。

上述教學就像一個小專題研究，目的明確，層次清晰，渾然一體，一氣呵成。教者用問題引領操作，學生的設計先于操作。教者先提出問題，使學生明確探究方向，再引導學生聯系已有數學活動經驗和日常生活進行類比猜想，嘗試遷移，最后自己設計實驗進行驗證。此時，設計操作成為學生研究問題的內在需要，是一種探求知識的途徑和方法。這樣的操作充分激發了學生探究的主動性和積極性，學生不但發現了知識，而且學會了思考，學會了探究。他們的探究能力在設計操作的過程中得到有效的培養，所滲透的探究方法對學生終身有用。

二、從表面走向內里

學生動手操作，是在視覺與觸覺、運動覺協同感知事物的同時，以內部語言悄悄地展開思維，他們在操作中所獲得的形象和表象，又及時地推動著他們進行分析、綜合、比較、抽象和概括，深刻地理解知識的本質意義。為了使操作活動向縱深發展，更有成效，必須把實際操作與深入思考緊密結合起來。但筆者發現。一些操作比較膚淺和匆忙，學生的體驗既不豐富也不深刻。

一位老師這樣教“圓柱的認識”：

師：請同學們想象一下。如果把圓柱的側面沿高剪開后再展開，會得到一個什么圖形?

學生交流猜想后。老師進行了如下的引導：

師：請大家拿出貼有商標紙的圓柱形罐子。先沿著它的一條高剪開，再展開，看看得到什么圖形?

生1：圓柱的側面是一個長方形。

生2：圓柱的側面是曲面，應該說把它的側面沿高剪開后展開，得到一個長方形。

師：得到的長方形的長和寬分別與圓柱體的哪部分有什么關系?

學生匯報后，教師板書學生的發現。

師：根據這種關系。你認為圓柱的側面積應該怎樣計算?

老師板書：圓柱的側面積=底面周長×高

表面看，老師似乎并未把結論直接告訴學生，學生似乎也經歷了猜想——操作——驗證的過程，但學生探究的動機并不強烈，探索的空間非常狹窄，他們的體會不深刻，也不持久，他們更體驗不到探究的樂趣。如何引導學生進行深入有效的探究，使其對圓柱的認識更深刻、更透徹呢?筆者改進如下：

師：課前同學們都做了一個圓柱，你認為怎樣才能做成一個圓柱?

生1：需要兩個圓和一個長方形。

生2：應該是兩個等圓。

師：這兩個等圓叫做圓柱的底面。長方形叫做圓柱的側面。但長方形是一個平面圖形，而側面卻是一個曲面圖形，你們是怎么做的?(教者引發第一次認知沖突)

。

生3：我把長方形紙卷起來成為曲面。展開來成為平面。(學生用紙片演示)

老師順勢拿出一張長方形紙和兩張等圓紙來圍，可怎么圍也圍不起來。學生面露疑惑。(教者引發第二次認知沖突)

師：究竟怎樣的長方形和兩個等圓才能圍成一個圓柱呢?同學們可以借助身邊的側面有包裝紙的圓柱形罐子，試著研究一下。

此時，有的學生在把包裝紙沿高剪開后展開，再卷起來，有的在思考，有的在輕聲討論著。

生1：我發現長方形的長和圓的周長相等(學生邊興奮地說邊演示)

生2：圓的周長就是圓柱的底面周長。(許多學生都認同)

師：假如老師現在給所有同學都發兩個完全一樣的等圓，要做一個圓柱，你打算如何確定長方形的長?

生：量出底面圓的直徑(或半徑)，算出周長，圓柱的底面周長就是長方形的長。

學生先小組合作，動手制作，然后展示作品。

師：同學們手中的兩個圓片完全一樣。可圍成的圓柱怎么不一樣呢?(教者引發第三次認知沖突)。

生1：我們配的長方形的寬不一樣，寬就是圓柱的高。所以圓柱不一樣。

生2：如果長方形的寬一樣，圍成的圓柱的高也就一樣了。

師：如果你是老師，布置同學們做圓柱。而且要求每人做的完全一樣，你會給出什么條件?

生：統一圓柱的底面半徑(直徑或周長)，統一高度，這樣做成的圓柱就完全一樣。

師：現在你認為應該怎樣求圓柱的側面積?

在多個學生回答后，教者板書計算公式。

整個設計緊緊圍繞“怎樣做成一個圓柱”這一專題展開，目標明確，層次分明，而且環環相扣，一波三折，引人入勝。它以沖突引發操作，又以操作深化探究。第一次認知沖突，促使學生感悟到曲面與平面之間的相互轉化；第二次認知沖突，促使學生將探究重點聚焦到長方形的長與底面圓的關系上；第三次認知沖突，促使學生發現長方形的寬與圓柱高的關系。隨著探究的不斷深入，學生的思維也逐步深化：從部分到整體，從平面到立體，從相異到統一。學生從中還深刻地體驗到圓柱的形狀和大小是由底面與側面決定的，這為后面學習圓柱的體積打下了基礎。這樣的操作已不再是走過場，而是充分的體驗和深刻的探究。

三、從依賴走向中介

“手與腦有著千絲萬縷的聯系，手使腦得到發展，使它更加明智；腦使手得到發展，使它變成思維的工具和鏡子。”手與腦的這種聯系，要求教師在指導學生進行操作時必須緊密結合思維的指導。在教學中，必要的操作是需要的，但如果僅僅停留在操作層面或依賴操作是遠遠不夠的，因為數學最終是要走向理性思考的。教師應善于引導學生在適當的時候跳出具體的、直觀的操作，從相對抽象、更為一般的層面上認識方法，這樣學生才能真正建立起對數學模型的認識和理解，把認識和推理提高到一個更高的水平。

有這樣一道習題：至少要用多少塊棱長為1厘米的小正方體才能拼成一個較大的正方體?

一位老師在發現許多學生無從下手時，便啟發學生先拼一拼，再數一數。學生通過動手操作，發現至少要用8塊。此題的教學到此結束。

筆者以為這種操作只停留在表面，只為解決此題服務。教者并未引導學生借助操作及時進行深入探究：為什么會是“8塊”?這其中有規律嗎? 筆者改進如下： 在學生通過操作得出“8塊”后，趁勢引導學生觀察并思考：

師：為什么會是“8塊”?

生：因為沿著長、寬、高各都擺了2塊。每層都要擺2×2=4(塊)，要擺2層，所以是4×2=8(塊)。

師：你會列式計算嗎?

生：用2×2×2=8(塊)。

生：23=8(塊)。

師：每個“2”分別表示什么?

生：每個“2”分別代表長、寬、高。

師：你從中發現了什么?

生：總塊數等于長、寬、高的乘積。

生：總塊數等于正方體棱長的立方。

師：這個發現究竟對不對呢?需要驗證。假如要拼一個棱長為3厘米的正方體，至少需要多少塊這樣的小正方體?

盡管一些學生還是依賴動手拼，但許多學生已開始借助表象，進行想象并抽象成算式：3×3×3=27(塊)，或33=27(塊)。

師：假如要拼一個棱長為a厘米的正方體(口為自然數)，一共需要多少塊這樣的小正方體?你能想象出拼成的圖形嗎?

絕大多數學生直接列式為a×a×a=a³，并說明了理由。

筆者借助操作及時把感性上升到理性，把特殊轉變到一般，把形象引向抽象，使探究不斷深入。促進了學生空間觀念的形成和抽象思維的發展。學生不但發現了規律，而且體驗到探究的方法，并感受到探究的樂趣與價值。

總之，要使操作更有探究味，更能促進學生思維的主動發展和探究能力的不斷提高，就要讓操作與明確的目的同在，與仔細的觀察同在，與理性的思考同在，與準確的表達同在。