用示差法和電阻法測定楊氏模量

我們知道，傳統的測定楊氏模量的方法中要通過光杠桿來完成被拉伸鋼絲微小變化量的放大測定。這種方法已在各大高校力學實驗室中沿用了許久，但是它有一定的不足。比如：在使用鏡筒望遠鏡的過程中，使用者的眼睛會經受一個非常的疲勞過程；標尺的精確度不高；所需實驗空間大；一個人不方便完成實驗等等?；谝陨显?，我們想到了用其它方法代替原來的光杠桿完成對于楊氏模量的測定。

通過示差法來顯示微小變化測定楊氏模量

胡克定律指出，在彈性限度內，彈性體的應力和應變成正比?，F設有一根長為；橫截面積為；直徑為的鋼絲，在外力的作用下伸長了，則有：……（1）

式中的比例系數E稱為楊氏模量。

……（2）

現在令，則上式可變為……（3）

顯然關鍵的問題是要確定微小的長度變化量。通常它是一個非常小的量。在1Kg砝碼的重力作用下，它的值小于0.1mm。只要測得相關量就可以由上式算得楊氏模量。

現在我們采用（如下圖）裝置同時用示差法和光杠桿法進行楊氏模量的測量。

在鋼絲限位器處，將原來夾鋼絲用的夾子換成一個既可以夾同時又和固定支架聯系的圓柱形游標卡尺即可完成對于長度微小變化量的測定。而我們采用光杠桿和游標卡尺同時對一鋼絲作楊氏模量作測定取得如下比對數據：

鋼絲長度=0.814m（用精度1mm的測得）

光標桿前后尖足的垂直距離=0.085m（用精度為0.02mm的游標卡尺測得）

鋼絲直徑=0.505mm（用精度為0.01mm千分尺測得）

鏡面到標尺的距離=1.1903m，標尺精確度1mm；環境溫度25℃

從理論分析可知，當使用傳統的光杠桿方法來測定時，所得楊氏模量的不確定度來源于鋼絲長度測定，鋼絲直徑測定，光標桿前后足尖距離的測定，反射鏡到標尺距離的測定，以及測定形變量擬合直線時的不確定。不確定度如下：

}……(4)

它由五項構成。而如果使用游標卡尺測量，不確定為

=++……（5）

通過前表格中的各示數的計算可以知道，遠遠小于。

以下是造成這種差別的主要原因：一是用光杠桿測量時標尺的精確度為1mm，而游標卡尺的精確度為0.02mm；二是用光杠桿法測量時，一定要用米尺來測量反射鏡到標尺的距離，而用示差法來測量時就避免了它。從不確定度的構成形式來看，用光杠桿測定楊氏模量時，不確定的表達式（4）要比用游標卡尺測量時的不確定度（5）多兩項。所以，用游標卡尺來測量楊氏模量能提高測量的精確度，使不確定度減小，且減小了測量時的所需空間，更便于測量者的操作。

實驗開始前掛鋼絲時一定要將游標尺的兩零線調節對齊，如果未對齊則讀數與沒有掛重物時相減才是實際伸長量。另外所制游標卡尺的圓柱形游標尺半徑和限位孔半徑不能相差太大或太小，最好相差0.5mm。這樣在做實驗時只要先調平底座，即可順利完成實驗。

通過測量電阻來完成對于楊氏模量的測量

現設有一根長為；電阻率為；橫截面積為；直徑為的鋼絲，在外力的作用下伸長了，則有：……（1）

對于此導體而言，它的電阻由電阻定律可知，與導線的長度成正比而與導線的橫截面積成反比。即：……（2）

將上式右端上下同乘以則有：……（3）

作變形有……（3.1）

將上式兩端作微分計算有：……（4）

現在將（4）式兩端同時除以可得

再將（3.1）代入上式得：……（4.1）

現在將（4.1）式代入（1）式中，并整理后得出……（5）

令則有：……（6）

利用（6）式即可測定出金屬絲的楊氏模量。

[實驗儀器和用具]：鋼絲掛架（可使用楊氏模量測定儀架），螺旋測微器（測鋼絲直徑用），卷尺（測鋼絲長度用），穩壓源（010伏可調），鋼絲（長于1米），砝碼（等質量的五個），最小倍率為的電橋（如沒有，則可用傳感器來完成）；標準導線若干（保證長度）。依據下圖安裝并作相應的測量。

[實驗過程]：將實驗儀器按前圖安裝。注意將兩夾線夾子在金屬絲的接觸要緊密。

打開電源，觀察電源電壓，觀察平衡指針是否指零。穩

定后即可調節電橋的比較臂到0.0001倍，然后調節比較臂的電阻值，按下“B”與“G”，觀察平衡指針，直到指針指零。記錄此時的電阻值=0.0001，其中是比較臂的電阻之和。然后再次緩慢加砝碼，再次記錄……

不確定度的來源主要有以下幾個方面。一是由于鋼絲直徑用千分尺測定時產生的，二是由于多次測量電阻而產生的。因此分別算得而合成即可。

……（7）

實驗注意事項：實驗中一定要注意不能將導線晃動，這樣易引起電阻變化的不穩定。其次應當在使用電橋時每一次都先將“B”按鈕按下幾秒后再按“G”按鈕。每次加減砝碼一定要輕拿輕放。為了避免加碼過多引起的非彈性形變，我們可以采用只放四個砝碼循環加減砝碼來得到多組數據。

[結論]應用示差法和測量電阻的變化來測定楊氏模量可以避免眼睛長時間對鏡筒的觀察而帶來的視力傷害。而且比傳統的光杠桿法更易操作，因此整個裝置可以更集中。

[致謝]在完成本論文的過程中得到舒國浩老師的大力支持和幫助，在此表示衷心的感謝。

[1]楊述武.普通物理實驗[J].

[2]邱關源.電路[J].

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。