文科高等數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)思想研究

作為加強(qiáng)大學(xué)生文化素質(zhì)的一項(xiàng)措施，高等數(shù)學(xué)已被列入文科教學(xué)計(jì)劃內(nèi)，這是高校深化教育改革、順應(yīng)知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代對(duì)高校人才提出的更高要求采取的積極舉措。然而盲目地開設(shè)《文科高等數(shù)學(xué)》課程，就可能使設(shè)計(jì)者愿望得不到落實(shí)和實(shí)現(xiàn)。另外，教師應(yīng)如何根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)慕滩?，講授恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，以利于學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力、增強(qiáng)素質(zhì)，也是不容忽視的問題。

數(shù)學(xué)理論的講授及應(yīng)用

文科數(shù)學(xué)的主題是講授重要的數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用，微積分是人類二千年來智力奮斗的結(jié)晶，有著廣泛而深刻的應(yīng)用，又是其他課程的基礎(chǔ)，因此文科數(shù)學(xué)應(yīng)以微積分為其重要組成部分。但是，考慮到時(shí)間有限，且訓(xùn)練方向不同，一方面，應(yīng)對(duì)它的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑欤簻p少細(xì)節(jié)，實(shí)出思想。例如，在極限這一章中，對(duì)于極限的定義，筆者認(rèn)為學(xué)生要理解極限的定性定義，其精確的定量定義可作為了解的內(nèi)容，讓有余力的學(xué)生深入學(xué)習(xí)，理解其中的辯證思想。學(xué)習(xí)極限的主要目的是讓學(xué)生理解變化趨勢(shì)與無限趨近的思想，并用這種思想去理解收斂與發(fā)散這兩個(gè)概念。此外，由于文科學(xué)生在中學(xué)階段沒有深入學(xué)習(xí)過反三角函數(shù)的內(nèi)容，故在微積分的教學(xué)中應(yīng)盡量不涉及有關(guān)反三角函數(shù)內(nèi)容的例題與習(xí)題。這樣做可以比較符合學(xué)生實(shí)際基礎(chǔ)，符合文科生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的，也能讓學(xué)生較好地把握應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)的知識(shí)。另一方面，要針對(duì)學(xué)生所遇到的一些普遍性問題加以小結(jié)，用適當(dāng)?shù)臅r(shí)間及時(shí)地解決問題。平時(shí)還要常進(jìn)行階段性總結(jié)，這樣學(xué)生對(duì)自己所學(xué)的知識(shí)才能有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生掌握了微積分的方法，用這些方法解決問題的能力也就大大提高了。

掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方法

為文科學(xué)生講授高等數(shù)學(xué)課程，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生明白學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)是十分必要的，通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，可以鍛煉思維，開拓視野，使我們考慮問題時(shí)能更嚴(yán)密、更有邏輯性，因此，要有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維既是有一般科學(xué)思維的共性又具有它自身的特點(diǎn)，所謂數(shù)學(xué)思維是指人腦關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的理性認(rèn)識(shí)過程。數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)科學(xué)一樣具有高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性，還具有實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、直覺等特點(diǎn)，通常數(shù)學(xué)思維可分為邏輯思維、形象思維和直覺思維。邏輯思維是以概念為思維材料，以語言為思維載體，每前進(jìn)一步都有充分依據(jù)的思維，它以抽象性為主要特征，其基本形式是概念、判斷和推理；形象思維是依靠形象材料的意識(shí)領(lǐng)會(huì)得到理解的思維，它的主要特征是思維材料的形象化，其基本形式是表象、直覺和想象，它在數(shù)學(xué)中激勵(lì)人們的想象力和創(chuàng)造性，常常導(dǎo)致主要理論的發(fā)現(xiàn)；直覺思維是以高度省略、簡(jiǎn)化、濃縮的方式洞察問題的實(shí)質(zhì)的思維，它的主要特點(diǎn)是能在一瞬間跳過明確的邏輯推理過程，迅速直達(dá)問題的結(jié)論。在數(shù)學(xué)思維中邏輯思維是核心，形象思維是先導(dǎo)，在一般的數(shù)學(xué)思維過程中，往往是兩種思維交錯(cuò)運(yùn)用的綜合過程，而直覺思維是這兩種思維發(fā)展到一定階段才能形成的思維。因此說邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)現(xiàn)的工具，它們互相補(bǔ)充，交互作用，才使數(shù)學(xué)不斷發(fā)展完善。在平時(shí)的教學(xué)中教師應(yīng)該最大限度地利用啟發(fā)式的教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使他們能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思維這一武器來解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)史的有關(guān)知識(shí)的介紹

在教學(xué)中講授一些重要數(shù)學(xué)思想的發(fā)展及其演變和某些著名成果。與其他知識(shí)相比，數(shù)學(xué)是一門歷史性或過程性很強(qiáng)的科學(xué)，重大數(shù)學(xué)思想理論總是在繼承和發(fā)展原有理論基礎(chǔ)上建立起來的，它們不僅不會(huì)推翻原有理論，而且總會(huì)包容原有理論。在幾何學(xué)中，非歐幾何可以看成是歐氏幾何的推廣，由初等代數(shù)推廣得到的抽象代數(shù)并沒有淘汰初等代數(shù)，同樣在微積分中，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念推廣均包含了古典定義作為其特例。可以說，在數(shù)學(xué)進(jìn)化過程中，幾乎沒有發(fā)生過徹底推翻前人研究成果的情況，正是由于數(shù)學(xué)這一學(xué)科的歷史性，所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，有必要了解它的歷史，然而在介紹數(shù)學(xué)史時(shí)，不能僅僅介紹單純的數(shù)學(xué)成就及數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家取得的成就是來之不易的，在更多情況下是充滿憂郁、徘徊，要經(jīng)歷困難曲折，甚至?xí)媾R危機(jī)。數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)家們克服困難和戰(zhàn)勝危機(jī)的斗爭(zhēng)記錄，例如，介紹數(shù)學(xué)家歐拉生平事跡時(shí)，要使學(xué)生知道歐拉取得輝煌成就的原因：厚積薄發(fā)、頑強(qiáng)奮斗、善于思考，借以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)文科學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)。同時(shí)還要向?qū)W生介紹中國古代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，我國數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的大量結(jié)構(gòu)復(fù)雜、應(yīng)用廣泛的算法是一種歸納思維能力的產(chǎn)物。通過對(duì)這些內(nèi)容的介紹感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的愛國主義熱情。

數(shù)學(xué)美的滲透

數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)，還具有藝術(shù)特征，這就是對(duì)美的追求。對(duì)數(shù)學(xué)美的追求在很大程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，所以數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)的發(fā)明和創(chuàng)造有著密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)美不以感性對(duì)象為審美對(duì)象，是一種抽象的美或者是“超感覺”的美。數(shù)學(xué)美產(chǎn)生于對(duì)客觀事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí)之中，具有普遍意義，因此數(shù)學(xué)美還具有“普適性”。在教學(xué)中要對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的滲透，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的審美能力，另一方面也可以有助于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是十分廣泛的，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展及人類文明的進(jìn)步數(shù)學(xué)美的內(nèi)容也在不斷的變化，目前人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容主要是指：統(tǒng)一美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、奇異美。例如，微積分中最重要的幾個(gè)概念：連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分等都是統(tǒng)一地用極限定義的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美；又如，計(jì)算時(shí)，求被積函數(shù)的原函數(shù)是很困難的，但被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，這表明對(duì)稱美為解題帶來了方便；再如，著名的黎曼函數(shù)在[0，1]上有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)，但在[0，1]上可積且，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的奇異美，而且澄清了函數(shù)連續(xù)與可積的模糊認(rèn)識(shí)。

總之，教育的目的是為社會(huì)培養(yǎng)高素質(zhì)人才，數(shù)學(xué)水平的提高有利于提高專業(yè)學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力。文科高等數(shù)學(xué)如果以以上四點(diǎn)作為指導(dǎo)思想，一定能使學(xué)生潛移默化的學(xué)會(huì)并掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，使學(xué)生終生受益。

項(xiàng)目資助：吉林師范大學(xué)碩士科研啟動(dòng)基金（2006004）

中圖分類號(hào)：G642

[1] 張國楚，徐本順等.大學(xué)文科數(shù)學(xué)（第二版）[M].高等教育出版社，2002.

[2]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社，1997.

[3]明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法[M].山東大學(xué)出版社，2004.

[4]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].高等教育出版社.2001.

[5]蕭樹鐵等．面向21世紀(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001.4(2):6-10.

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