融入數學建模思想 改革高職數學教學

進入20世紀以來，隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透，以及電子計算機的出現與飛速發展，數學建模越來越受到人們的重視。無論是發展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術本身，還是將高新技術用于傳統工業去創造新工藝、開發新產品，計算機技術支持下的建模和模擬都是經常使用的有效手段。數學建模、數值計算和計算機圖形學等相結合形成的計算機軟件，在許多高新技術領域起著核心作用，被認為是高新技術的特征之一。在這個意義上，數學不再僅僅作為一門科學，它是許多技術的基礎，而且直接走向了技術的前臺，高新技術正在成為一種數學技術。

數學建模的作用和意義

隨著數學建模競賽的深入開展，數學建模思想為高校的數學教育思想、教學體系、內容和方法的改革提供了新思路。數學教學培養學生的素質和能力有兩個方面：一是通過分析，計算和邏輯推理能夠正確快速的求解數學問題，即運用已經建立起來的數學模型；二是用數學的語言和方法去抽象和概括客觀對象的內在規律，構造出待解決的實際問題的數學模型。

傳統的數學教學著眼和著重于前者：從一些基本概念或定義出發，以簡練的方式合乎邏輯的推演出所追求的結論，這固然可以使學生在比較短的時間內按部就班地學到盡可能多的知識，并且體會出一種天衣無縫的美感。可是過分強調這一點，就可能使學生認為數學這樣的完美無缺是天經地義的，從而使思想處于一種僵化狀態，在生動活潑的現實世界面前變得束手無策。將數學建模引入教學是加強后一方面的一條有效途徑，用建模方法解決實際問題的途徑，一般說來這一過程可以分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段。因此，在高等數學教學中滲透數學建模的思想，能還數學知識源于生活的本來面貌，培養學生將數學知識應用于日常生活、社會實踐的意識；數學建模要求學生能夠運用數學的語言和工具，對部分現實世界的信息加以簡化、抽象、翻譯、歸納，將數量關系用數學式子、圖形或表格等形式表達出來，這樣可以鍛煉和提高學生的表達能力；數學建模得到實際解答后，需要用現實對象的信息去檢驗，以確認結果的正確性。這一步驟的訓練可以讓學生學會主動地、客觀地、辯證地用數學的方法去分析問題，最終得到解決問題的最佳方法。所以，數學建模在高等數學教學中有著十分重要的作用。

數學建模在高職數學課程中的地位

相對于大學本科生來說，一個接受高等職業教育的學生，他更注重于掌握知識的應用，更需要有較強的解決實際問題的能力。因而高等職業教育的數學課程更應該把培養應用數學知識解決實際問題的能力和素養放到重要的位置。而那些傳統意義上的應用題從實際問題中提煉出來的時候，經過了太多的加工，最后使得問題都比較簡單明確，條件也是充分的。這樣的應用題對能力的培養作用甚微。一旦他們在工作時遇到問題時，許多人仍然感到茫然，不知道怎樣用數學知識去解決這些錯綜復雜問題。解決這一個問題的有效的方法是在高等職業教育的數學基礎課程中增加數學建模的訓練。數學建模所解決的問題都是直接來源于實際，給出的條件是不充分的，解題者需要自己查閱資料，收集數據，還要善于從實際問題中抓住主要因素和主要關系，根據情況做出合理的假設，再利用恰當的數學方法建立各種量之間的數學關系，即數學模型。求解模型時，還需用計算機進行計算。從整個過程看，建立數學模型的過程其實就是一個團結合作、探索創新的過程。它要求學生具有觀察事物，將實際問題歸結于數學問題的能力。這種能力是非常難能可貴的。高等職業教育培養的是高技能應用型的人才，受教育者大都將工作在各行業生產第一線，高職學生具有了這種能力，將它用之于生產第一線，將有力地推動我國經濟建設的發展。

在高職數學教學中如何融入數學建模的思想

1.在概念講授中融入建模思想。一般來說，高等數學課本中的函數、極限、導數、積分、級數等概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。但是，課本中是用非常精煉的語言把它表達出來的，這使得學生感受不到它是實際生活有密切聯系的，因此我們在教學中應從它們的實際“原型”引出來，使學生感到課本里的概念不是硬性規定的，和學生熟悉的日常生活中密切相關的。因此，教師在講授有關概念時，應盡量結合實際，設置適宜的問題情境，提供觀察、實驗、操作、猜想、歸納、驗證等方面的豐富直觀的背景材料，引導學生參與教學活動．例如，為講解“極限”這個概念，我們首先介紹我國古代數學家劉徽的“割圓術”、某類幾何圖形按一定規則的變化、盡可能地向學生展示極限定義的形成過程，挖掘極限定義的實質，展示利用極限問題的解題思路的探討過程和解題規律的概括過程，從而使學生理解“極限”這個概念模型的構建過程。若條件允許，利用多媒體教學軟件演示上述圖形或數值的變化過程，既省時又直觀，效果更佳。又如，積分的概念，初看起來形式抽象，但在它的形成過程中，有大量的具體原型作基礎。它和曲邊梯形的面積、旋轉體的體積、變力所作的功等具體問題密切關聯，通過用“微元法”對這些問題的求解，便可抽象出“積分”這個概念模型來。在概念講授中，只要選取恰當的背景材料，就能引導學生積極參與教學活動，概念模型也將隨之自然而然地建立起來，比直接用抽象的數學符號展現給學生要生動有趣得多。

2.選編相應的數學模型進行案例教學。案例教學，就是在課堂教學中，以具體案例作為教學內容，通過其體問題的建模范例，介紹數學建模的思想方法。我國高職教育的幾乎所有的專業都開設了微積分課程，還有許多專業開設了線性代數、概率論初步等課程。課程內容的廣度和深度雖不及本科教育，但也可以解決許多實際問題了，比如，“積分學”內容講完后，可介紹“人口預測”的兩個統計模型，第一個模型是指數模型記今年人口為年后人口為，年增長率為，

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則，=為任意常數)這是著名的馬爾薩斯(Malthus)指數增長模型。

通過問題的提出，抽象、簡化、假設，確定變量、參數，確定數學模型，解答數學問題，從實際解決問題的講授使學生認識到這個模型作近期的觀測值是一個相當好的模型，但這個模型的缺點是不能解決人口數目的長期預測。這說明，當人口數量變化很大時，這方程的精確程度就降低了，需要修改。因為這時人口數量將受到環境因素的很大影響，瘟疫等，特別地，也包括人口的自我控制。這樣一來，方程里應該有一項反映這一因素。

修改后的模型為，這個模型是稱為阻滯增長模型（Logistic模型），其中rx體現了人口自身的增長趨勢，因子則體現了資源和環境對人口增長的阻滯作用。顯然， 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結果，這個模型比第一個模型更加合理。通過這兩個模型的學習學生認識到建模過程是一個逐漸演化的過程，又是一個逐漸優化的過程。

教學中加強數學建模的訓練既鞏固了所學知識，又提高了教學的趣味性，也極大地調動了學生學習的積極性，使學生覺得數學既有趣又有用。這樣既使學生掌握數學建模的方法，又使他們深刻體會到數學是解決實際問題的銳利武器，有利于教學中貫徹理論和實際相結合的原則，培養增強了學生的想象力，洞察力和創造力。

3.在作業中增加建模訓練。做習題是培養學生應用能力的重要環節。教材設置的習題，涉及應用方面的問題較少，即使有，也是一些條件充分，答案確定的問題，這對培養學

生的創新能力不利。因此在作業中布置一些與其他學科相聯系或從實際生活中來的開放型應用題，給學生以更大的思維空間、以學生為中心、以問題為主線、積極引導學生進行探索。使學生感受到數學應用之所在，這樣，學生完成作業就不是一味是以“練”為主，而是以“做”為主，通過“做”來體驗數學，認識數學，掌握數學建模的思想方法。

另外布置一些可用數學軟件進行處理的數學實驗題。現代數學模型的復雜性，使得很多實際問題的解決往往是人力望塵莫及的，而在當今計算機強大的功能使各種求解過程變得簡單快捷。實驗中可以利用的數學軟件包括數據分析計算軟件matlab，非線性規劃軟件lingo，線性規劃軟件lindo等。通過這些軟件，能夠在計算機下模擬一些實驗現象，便于學生對所研究課題的可行性、結論的正確性等進行研究，讓學生體驗到計算機應用技術的價值，提高數學學習的興趣及探究問題的能力。

最后值得一提的是，把數學建模的思想方法融入到高等數學的上述教學環節中，目的是要促進學生更好地學習和掌握高等數學的基本知識，提高學生的數學應用意識和創新能力，在實施教育過程中應當正確處理好教學的“嚴謹性”和“實用性”之間的關系，促進教學改革的發展。

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊編.數學模型.

[2] 葉其孝主編.大學生數學建模競賽輔導教材.