Matlab在液浮陀螺隨機(jī)漂移建模中的應(yīng)用

1 引 言

船用慣導(dǎo)系統(tǒng)的定位精度很大程度上取決于慣性系統(tǒng)的測(cè)量精度，而慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差的主要原因是其核心部件——液浮陀螺儀的漂移，例如0.01(°)/h的陀螺漂移將會(huì)造成慣導(dǎo)系統(tǒng)1 n mile/h的定位誤差[1]。消除陀螺漂移誤差，主要有兩種途徑：一是提高陀螺儀硬件的精度，即采取各種高精度工藝手段，改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以滿(mǎn)足高精度的要求。目前，精度最高的液浮陀螺儀的隨機(jī)漂移已達(dá)到5×10-4(°)/h，但這種單純依靠提高硬件精度的辦法，所需的研制經(jīng)費(fèi)相當(dāng)高，研制周期也相當(dāng)長(zhǎng)；二是利用軟件來(lái)提高系統(tǒng)精度，建立準(zhǔn)確的陀螺漂移數(shù)學(xué)模型，并使用合理的信號(hào)處理方法，對(duì)陀螺漂移進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償。

液浮陀螺漂移誤差模型通常分為三類(lèi)：靜態(tài)漂移誤差模型、動(dòng)態(tài)漂移誤差模型和隨機(jī)漂移誤差模型，其中隨機(jī)漂移是液浮慣導(dǎo)系統(tǒng)的主要誤差源。建立陀螺隨機(jī)漂移模型應(yīng)用最廣泛的方法是時(shí)序分析法。本文基于時(shí)序分析理論，按照傳統(tǒng)時(shí)序分析的方法與步驟，利用實(shí)測(cè)的陀螺漂移數(shù)據(jù)建立液浮陀螺隨機(jī)漂移誤差模型，并在建模過(guò)程中直接調(diào)用Matlab自帶函數(shù)，避免了復(fù)雜的編程，大大減少了工作量，提高了建模效率。

2 Matlab簡(jiǎn)介

Matlab( Matrix Laboratory)是美國(guó)Math work公司推出的集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、圖形處理及程序設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能于一體的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，它將計(jì)算、可視化和編程功能集成在非常便于使用的環(huán)境中，是一個(gè)交互式的、以矩陣計(jì)算為基礎(chǔ)的科學(xué)和工程計(jì)算軟件。它的功能具有其他計(jì)算機(jī)語(yǔ)言無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)[2]:

2.1 功能強(qiáng)大、內(nèi)涵豐富

Matlab擁有600多個(gè)工程中要用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，可以方便地實(shí)現(xiàn)用戶(hù)所需的各種計(jì)算功能。目前最新的版本包括一般數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、數(shù)字信號(hào)處理、建模、系統(tǒng)控制與優(yōu)化、動(dòng)態(tài)仿真、有限元分析等應(yīng)用程序，可以方便地處理各種應(yīng)用問(wèn)題。

2.2 豐富的模塊集和工具箱

Matlab對(duì)許多專(zhuān)門(mén)的領(lǐng)域都開(kāi)發(fā)了功能強(qiáng)大的模塊集和工具箱，它們由特定領(lǐng)域的專(zhuān)家開(kāi)發(fā)，用戶(hù)可以直接使用而不需要自己編寫(xiě)代碼。

2.3 開(kāi)放性及可延拓特性

Matlab是一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)，用戶(hù)可以方便地看到函數(shù)的源程序，也可以通過(guò)M文件方便地開(kāi)發(fā)自己的程序，甚至創(chuàng)建自己的“庫(kù)”。

3 時(shí)間序列分析法的ARMA模型

時(shí)間序列分析是對(duì)有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究,根據(jù)系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)來(lái)推測(cè)系統(tǒng)的內(nèi)部時(shí)性和外部影響,并預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)狀況。時(shí)序分析方法的基本模型是自回歸滑動(dòng)平均模型(即ARMA模型),ARMA(n,m)模型的一般形式為：

(1)

式中,x(t)為時(shí)間序列,m、n為模型階次，φi<1(i=1,2,…,n)為自回歸系數(shù)，θi<1(i=1,2,…,m)為滑動(dòng)平均系數(shù)，{ai}(i=1,2,…,N)為白噪聲序列。

如果模型中θi=0，則模型簡(jiǎn)化為：

x(t)=φ1x(t-1)+L+φnx(t-n)+at

(2)

上述模型稱(chēng)為n階自回歸模型AR(n)。如果模型中φi=0，則模型簡(jiǎn)化為：

x(t)=at-θ1at-1-θ2at-2-L-θmat-m

(3)

上述模型稱(chēng)為m階滑動(dòng)平均模型MA(m)。

4 液浮陀螺隨機(jī)漂移誤差模型的Matlab實(shí)現(xiàn)

液浮陀螺隨機(jī)漂移時(shí)序建模的內(nèi)容包括數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與預(yù)處理、模型辨識(shí)、模型參數(shù)估計(jì)、模型適用性檢驗(yàn)等問(wèn)題。將采集的陀螺漂移數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab工作空間后，應(yīng)用Matlab對(duì)陀螺漂移進(jìn)行時(shí)間序列建模主要包括以下步驟。

4.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

數(shù)據(jù)預(yù)處理是指在合理地選擇采樣間隔得到大量的測(cè)量數(shù)據(jù)之后，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的整理和必要的檢驗(yàn)，以得到零均值平穩(wěn)時(shí)間序列，從而滿(mǎn)足時(shí)間序列建模的前提要求。

4.1.1野值剔除

在對(duì)陀螺漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試時(shí)，由于外界的環(huán)境干擾或人為的操作失誤，得到的測(cè)試數(shù)據(jù)往往存在一定的不真實(shí)性，甚至有個(gè)別的測(cè)試數(shù)據(jù)本身就是錯(cuò)誤的，由此產(chǎn)生的異點(diǎn)在隨后的時(shí)序分析中會(huì)帶來(lái)極大影響。因此在進(jìn)行時(shí)序分析前，首先要進(jìn)行剔值、平滑處理。這一步可利用Matlab中的函數(shù)smooth，調(diào)用格式為：

y=smooth(x,span,’method’)

(4)

式中，y是平滑x得到的數(shù)據(jù)序列；span表示每次平滑計(jì)算所用的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，缺省值為5；method表示平滑方法，缺省為滑動(dòng)平均法。

4.1.2剔除趨勢(shì)項(xiàng)

由于實(shí)測(cè)得到的陀螺漂移序列一般非平穩(wěn)，因此在對(duì)其進(jìn)行剔值、平滑處理后，必須進(jìn)行零均值化、平穩(wěn)化處理，消除或提取趨勢(shì)項(xiàng)。Matlab中的detrend函數(shù)用來(lái)消除時(shí)間序列的線(xiàn)性趨勢(shì)，調(diào)用格式為：

y=detrend(x)

(5)

式中，y是去除x的線(xiàn)性趨勢(shì)項(xiàng)后得到的數(shù)據(jù)組。

如果去除趨勢(shì)項(xiàng)后的序列仍為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，則應(yīng)進(jìn)行差分處理，直至得到平穩(wěn)的時(shí)間序列。對(duì)于一維時(shí)間序列，進(jìn)行差分的最基本的函數(shù)為diff，調(diào)用格式為：

y=diff(x,n)

(6)

式中，n是差分階數(shù)，缺省為1，y是一階差分的結(jié)果。圖1～圖4為數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程中各階段的液浮陀螺漂移曲線(xiàn)。

4.2 模型結(jié)構(gòu)的選擇

圖1 原始漂移

圖3 去除線(xiàn)性趨勢(shì)漂移

圖4 差分后漂移

模型結(jié)構(gòu)是指模型的類(lèi)別和階次。實(shí)際應(yīng)用中，液浮陀螺隨機(jī)漂移通常采用AR，ARMA模型逼近隨機(jī)序列，由于液浮陀螺隨機(jī)漂移模型階次都比較低，通常不超過(guò)2～3階，因此可以在模型參數(shù)數(shù)目等于3的范圍內(nèi)尋找適合的模型,并且對(duì)于最小實(shí)現(xiàn)的線(xiàn)性系統(tǒng)，ARMA模型的自回歸階次大于或等于滑動(dòng)平均部分的階次，故實(shí)際需要選擇的只有AR(1)，AR(2)，AR(3)，ARMA(1,1)，ARMA(2,1)這5種模型。

4.3 模型參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)是指在辨識(shí)得到模型類(lèi)別和階次的基礎(chǔ)上求出模型中自回歸系數(shù)及滑動(dòng)平均系數(shù)的值。參數(shù)估計(jì)中常用最小二乘法、誤差預(yù)測(cè)估計(jì)法、輔助變量法等[3]。

對(duì)于AR模型的參數(shù)估計(jì)，Matlab中采用函數(shù)ar，調(diào)用格式為：

Model=ar(x,n,’approach’)

(7)

式中，x為隨機(jī)漂移序列，n為AR模型階次，approach表示采用的方法，有以下幾種[4]：1) ’fb’——前后向；2) ’ls’——最小二乘法；3) ’yw’——Yule-Walker法；4) ’burg’——基于Burg格法；5) ’gl’——幾何格法。

對(duì)于ARMA模型的參數(shù)估計(jì)，Matlab中采用函數(shù)armax，調(diào)用格式為：

Model=armax(x,orders)

(8)

式中，orders=[na,nc],na、nc分別為模型的自回歸系數(shù)和滑動(dòng)平均系數(shù)。

利用函數(shù)ar,armax求出液浮陀螺隨機(jī)漂移模型參數(shù)如表1所示。

表1 各模型參數(shù)

4.4 模型適用性檢驗(yàn)

在利用平穩(wěn)時(shí)間序列建模方法建立陀螺漂移模型后，為了保證模型是對(duì)實(shí)測(cè)漂移數(shù)據(jù)的最優(yōu)擬合，必須采用相應(yīng)的方法對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)主要是測(cè)定殘差序列(即原始序列與預(yù)測(cè)序列之間的誤差序列)是否為隨機(jī)序列，以鑒定所建立的模型是否適用。常用的檢驗(yàn)準(zhǔn)則有：白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則、殘差平方和檢驗(yàn)準(zhǔn)則、FPE準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則等[5]。

Matlab中提供的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用性的函數(shù)有fpe,aic，它們的調(diào)用格式分別為:

e=fpe(Mode1)

(9)

aic=aic(Mode1)

(10)

式中，fpe對(duì)應(yīng)FPE準(zhǔn)則，用于求解最終預(yù)報(bào)誤差值；aic對(duì)應(yīng)AIC準(zhǔn)則，用于求解赤池信息值。它們采用的計(jì)算公式分別為：

fpe=V×(N+d/N-d)

(11)

aic=log(V)+2d/N

(12)

式中，V是模型的損失函數(shù)，d是估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)，N是隨機(jī)漂移序列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文的原始數(shù)據(jù)是某液浮陀螺儀漂移實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。建模主要步驟如下：

1) 輸入原始數(shù)據(jù)；

2) 對(duì)建模用的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行剔值、零均值化，平穩(wěn)化處理，然后進(jìn)行分析。用detrend函數(shù)將建模用的原始數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)去趨勢(shì)項(xiàng)處理，即零均值化，平穩(wěn)化處理；

3) 利用ar和armax函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；

4) 利用函數(shù)ar和armax求出液浮陀螺隨機(jī)漂移模型；

5) 利用函數(shù)fpe和aic求出各模型的fpe、aic值(表2)。再比較所得數(shù)據(jù)，理論上應(yīng)選fpe值、aic值均最小的模型。

某液浮陀螺儀漂移的數(shù)據(jù)處理結(jié)果和模型辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)圖1～圖4以及表1和表2，最后得到的最優(yōu)模型為ARMA(2,1)，即

x(t)-0.911 5x(t-1)-0.119 9x(t-2)

=at-0.974 8at-1

(13)

表2 各模型fpe，aic值

需要注意的是，F(xiàn)PE準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則是模型優(yōu)化的一種宏觀度量，不宜機(jī)械地以最小值來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用性， 而應(yīng)該在所對(duì)應(yīng)的模型進(jìn)行多方比較后，進(jìn)一步確定模型階次及相應(yīng)參數(shù)，這里不再詳細(xì)討論。另外，這里得到的模型是在平穩(wěn)時(shí)間序列條件下的最優(yōu)模型，如果要更加準(zhǔn)確反映液浮陀螺隨機(jī)漂移的實(shí)際情況，則應(yīng)該采用非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模預(yù)測(cè)方法。對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模預(yù)測(cè)方法，不在本文的討論范圍之內(nèi)。

6 結(jié) 論

本文依據(jù)時(shí)序分析理論，建立了液浮陀螺儀隨機(jī)漂移的平穩(wěn)時(shí)間序列模型。通過(guò)Matlab在液浮陀螺隨機(jī)漂移建模中的應(yīng)用，避免了傳統(tǒng)編程建模的繁瑣，簡(jiǎn)化了建模過(guò)程，大大減小了工作量，提高了建模效率。

[1] 頤旅玲，許江寧，卞鴻生.陀螺隨機(jī)漂移誤差模型建模方法研究[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，2(1):80-82.

[2] 武麗花.三浮陀螺儀漂移模型的建立及Matlab實(shí)現(xiàn)[J]．中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2004，12(6):76-78．

[3] 曹鮮花，吳美平，胡小平．Matlab在光纖陀螺隨機(jī)漂移建模中的應(yīng)用[J]．航天控制，2007，25(1):18-25．

[4] 張善文，雷杰英，馮有前.Matlab在時(shí)間序列分析中的應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2007.

[5] 王振龍.時(shí)間序列分析[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2002.