力學計算中的能量方法

［摘 要］本文介紹了力學計算中常用的方法——能量方法。首先簡單介紹了相關概念。然后介紹了變分原理，按位移變分和應力變分分為兩類，并且以位移變分→虛功原理→最小勢能原理→卡氏第一定理；應力變分→虛余功原理→最小余能原理→卡氏第二定理，兩條主線將能量方法中的變分原理串連起來，使能量方法變得條理化、系統化。并著重對一些常用的重要原理進行了詳細推導。然后引入例題論述了用能量方法求解一維問題、薄板問題的具體應用。

［關鍵詞］能量方法 變分原理 最小勢能原理

［中圖分類號］TU3 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009－5489(2008)10－0206－02

一、概述

利用功和能的關系來求解可變形固體的位移、變形和內力等的方法，統稱為能量方法。能量方法在力學中可以方便地得到近似解。這使力學中的一些需要解一系列偏微分方程，并滿足給定的邊界條件，在數學上很難解決的問題得到有效解決。它通過能量概念將力學，幾何，物理關系所提供的解決問題的途徑變為一種求解極值的問題。將給求解力學問題帶來極大的方便。

本文理論部分主線為：位移變分→虛功(位移)原理→最小勢能原理→卡氏第一定理；應力變分。

二、理論部分

1.相關概念

當外力對物體做功使物體發生體積或形狀的改變而儲存在物體內的能量稱為應變能。一般情況下物體的應變能為體積應變能和形狀應變能之和。

余能是另一種能量參數。余功，余能，單位體積余能都沒有具體的物理概念，它們只不過具有功和能的量綱而已。對于彈性體，仿照功和應變能的關系，也可以將余功相應的能稱為余能。

對于非線性彈性體：應變能U和應變余能cU數值上不相等。對于線性彈性體：應變能U和應變余能cU數值上相等。注意：余能和應變能在概念計算方法上截然不同。

2.位移變分原理

設有一彈性體，在一定的外力作用下處于平衡狀態。命u，v，w為該彈性體中實際存在的位移分量，它們滿足用位移分量表示的平衡方程和位移邊界條件及應力邊界條件。現在假設這些位移分量發生了位移邊界條件所容許的微小改變，在上述假設的基礎上，本節按照：位移變分→虛功(位移)原理→最小勢能原理→卡氏第一定理，依次來介紹。

(1)虛位移原理

在理論力學中，學習了剛體的虛位移原理，一個力學體系在作用力和給定的幾何約束下處于平衡的充要條件是：存在于系統的內力和外力在滿足給定幾何約束的任意無限小虛位移上所做的全部虛功之和為零。

即：δW=o

此即為彈性體的虛位移原理：在彈性體的任一虛位移上，外力總虛功等于彈性體增加的虛應變能。由以上推導可以看出，應用虛位移原理時應該注意以下兩個問題：(a)對于所研究的力系(外力與內力)必須滿足平衡條件與靜力邊界條件；(b)對于所選擇的虛位移則應當是微小的，而且滿足變形連續性條件與位移邊界條件。

在推導中未涉及到應力——應變關系，說明虛位移原理不僅適用于彈性體。對于各種系統，包括塑性、彈塑性、剛體、動載等均適用。

(2)最小勢能原理

在虛位移原理的基礎上建立起變位移的最小勢能原理。

δU=∫∫∫［Xδu+Yδv+Zδw］dV+∫∫［Xδu+Yδv+Zδw］dS

如果用L表示外力所做的功，即：

L=∫∫∫［Xδu+Yδv+Zδw］dV+∫∫［Xδu+Yδv+Zδw］dS

則得：δ(U－L)=0

令Π=U－L，稱Π為彈性體的總勢能。即有：δΠ=0

物體在給定外力的作用下處于平衡狀態，實際存在的位移應該使勢能的變分為零，體系的總勢能最小，這就是最小勢能原理。下面討論應用最小勢能原理時常用的兩種方法：利滋法和伽遼金法。

(3)卡氏第一定理

用最小勢能原理直接導出在結構分析中應用非常廣泛的卡氏第一定理。即：彈性體應變能對于任一位移的偏導數等于相應的集中荷載。對于線彈性或非線彈性結構均可以適用。

3.應力變分原理

前面論述的原理都是以位移作為未知函數的。位移一經求出就不難得到其他的力學分量。但有時候，工程實際問題需要以應力作為基本未知量，如果沿用先求位移后通過微分方法再求應變及應力的方法，會影響解的精確度。

三、能量方法的應用

能量法在一維問題中的應用

求解超靜定桿系

求解超靜定桿系中各桿的內力及節點位移。靜不定桿系ABCD，在A點受力P的作用，三桿的截面積均為A，材料的彈性模量均為E，AC桿長為l2，AB，AD桿長為l，設A點的水平位移為Au，垂直位移為Av，求解各桿內力和Au，Av之值。

利茲法與伽遼金法的優缺點：利茲法所設撓度函數只需要滿足位移邊界條件，計算時取項數少時，結果不精確，取項數多時，計算很麻煩。伽遼金法所設撓度函數既要滿足位移邊界條件又要滿足應力邊界條件，不好找到。找到撓度函數后計算比較簡單、精確。

用利茲法和伽遼金法計算薄板問題時注意：在設定撓度表達式時，應當盡可能不要使它在任一邊界上滿足某種實際上不存在的邊界條件，否則，該邊界附近的位移和內力求出的解答將有較大的誤差。

四、總結與拓展

各種能量方法相互之間是相互關聯的，都是建立在能量守恒原理的基礎上的，各種能量原理都是能量守恒原理的結果。將能量守恒原理用于平衡力系，即得虛位移原理。應用能量守恒原理，可以推導出對于穩定的彈性系統的最小勢能原理。

最小勢能原理和最小余能原理應用最多。因為它們的優點是明確指出精確解使某個泛涵取最小值，如果在某個問題上主要目的在求位移，那么通常以用最小余能原理比較有效，因為這樣做比較直截了當，要求什么就以什么為未知函數，在近似解法中少拐彎子，可節省時間，提高精度。

在最小勢能原理中，只允許對位移作簡化假設而不允許對應力做簡化假設，而最小余能原理中只允許對應力作簡化假設而不允許對位移作簡化假設這是它們的不足之處。而在研究各種理論內在聯系，在創造各種特殊結構的實用理論時，往往需要允許各個函數獨立無關的變化，這就要求同時對位移和應力作出簡化假設。從而提出了廣義變分原理。這在理論上提供了廣泛的可能性，在應用上往往是有效的工具。人們都樂于采用廣義變分原理。所以，在以后的學習中，要加強對能量法中的廣義變分原理的學習和研究。

［參考文獻］

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