巧妙聯想 一題多解

豐富多彩的聯想，往往能溝通條件和結論，使解題思路變得更加清晰，也有助于良好思維品質的養成.在解題時，注意尋找題目的各種解法，一方面可以開拓思路，另一方面也可以克服對難題的畏怯心理.本文舉例說明如下.

題目如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD.求證：BD=CD.

思考：對本題直接進行解答，一下子無從下手，似乎在條件與結論之間無法建立聯系.如果我們根據問題所提供的條件∠CAD=30° 及AC=BC，進行聯想，構造熟悉的圖形，那么解法就會“油然而生”.

策略一要說明BD=CD，也就是要說明△BCD為等腰三角形.我們可以聯想到構造底邊上的中線、高或頂角的平分線.如果作出底邊BC的高DF，則應有CF為BC的一半.又由∠CAD=30°，我們聯想到直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.因此，可以構造出一個直角三角形ACE，只需要說明邊CE與CF相等即可.

證法1：如圖2，過C作CE⊥AD于E，過D作DF⊥BC于F.

∵∠CAD=30°，

∴∠ACE=60°，且CE=1/2AC.

∵AC=AD，∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°.

∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，∠FCD=90°-∠ACD=15°.

∴∠ECD=∠FCD.

∴△CED≌△CFD（AAS）.

∴CF=CE=1/2AC=1/2BC.

∴CF=BF.

∴Rt△CDF≌Rt△BDF（SAS）.BD=CD.

證法2：如圖3，過D作DE⊥AC于E，過D作DF⊥BC于F.

∵∠CAD=30°，

∴∠ADE=60°，且DE=1/2AD.

∵∠ACB=90°，

∴DE∥BC.

∴∠EDC=∠FCD.

∴△CED≌△DFC（AAS）.

∴CF=DE.

∴CF=1/2AD=1/2BC.CF=BF.

∴Rt△CDF≌Rt△BDF（SAS）. BD=CD.

策略二由于△ABC是一個等腰直角三角形，我們可以聯想到利用此三角形構造出一個正方形，從而可以得到等邊三角形.

證法3：如圖4，作△AEB，△AEB≌△ACB，則四邊形AEBC為正方形.連接ED.

∵∠BAD=45°-∠CAD=45°-30°=15°，

∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=45°+15°=60°.

又∵AD=AC=AE，

∴△ADE是等邊三角形.

∴ED=AD=AC=EB.△EBD為等腰三角形.

∵∠DEB=90°-∠AED=30°，

∴△ACD≌△EBD（SAS）.

∴CD=BD.

策略三根據條件中的角度∠CAD=30°，∠CAB=45°，我們可以構造以AC為邊的等邊△ACE，如圖5，從而可以得到圖形中的△BDE是等邊三角形，可得CD、DE、BE和BD都相等.

證法4：如圖5，作△ACE，使△ACE為等邊三角形，連接ED、EB.

∴∠CAE=60°，CE=AC.

∵AC=AD，∠CAD=30°，

∴∠ACD=75°，∠BCD=90°-∠ACD=15°.

∵∠ECD=∠ACD-∠ACE=75°-60°=15°，∴∠BCD=∠ECD.

又∵CD=CD，EC=AC=BC，

∴△ECD≌△BCD（SAS）.ED=BD.

∵∠CAE=60°，∠BAC=45°，∠CAD=30°，∴∠DAB=∠EAB=15°.

∵△ACE為等邊三角形，AC=AD，∴AD=AE.

∴△ABD≌△ABE（SAS）.

∴BE=BD=DE，△BDE為等邊三角形.

∴∠DBE=60°，∠DBA=30°，∠CBD=∠ABC-∠DBA=15°.∠CBD=∠BCD.

∴CD=BD.

總結：從以上各解法可以看出，盡管最后都是轉化為證△BCD為等腰三角形，但利用題中條件計算出有關的角的大小很關鍵，比如△ACD中的各角，以及∠DAB、∠DCB等.計算出這些角后，就為后面的比較創造了有利條件.