馬爾可夫分析在達標評價預測上的應用

摘要 通過對一個實例的研究，詳述應用馬爾可夫分析對達標評價結果的預測。該方法完全可以推廣到其他對預測有要求的評價系統。

關鍵詞 達標評價；馬爾可夫分析；概率矩陣

中圖分類號 O211.62 文獻標識碼 A文章編號 1671-489X（2008）014-0001-02

1 分析方法綜述

科學建立評價指標體系的工作流程如圖1所示。在建立評價指標體系之前的分析主要依賴于專家分析（簡稱Delphi法）和原始數據的主成分分析（簡稱PCA）。其中Delphi法為主觀分析，具有一定的局限性；而PCA為客觀統計方法分析，對原始數據的依賴性較強。

對用于評估達標情況的評價指標體系，除了要進行專家論證、主成分分析、層次分析之外，還應對該評價指標進行達標預測。若預測結果反映不能在規定時間內達到預先設定的標準，一般應認為該評價指標體系的項目權值分配存在問題，要進行適當調整。而對評價指標體系的權值分配合理性進行預測，可以通過對使用該評價指標進行測試的結果實施馬爾可夫分析。

本文是針對國內某地區基礎教育在初步確定了達標評價指標體系后，對該地區1 675個中小學校實行辦學條件試評估，然后預測到2010年是否能夠實現全部達標而論述的。使用的預測分析為馬爾可夫分析。在分析之前，先根據這1 675個學校的實際硬件條件，應用初步確定的評價指標體系對2006年和2007年提供的數據進行評估打分，并規定分數在60分（含）以上的學校為達標學校。該試行評價指標體系一、二級指標及權值分配見表1。

2 馬爾可夫分析的原理與方法

本文中進行馬爾可夫分析的目的是對執行試行評價指標體系后，到2010年全地區中小學校達標情況進行預測。

應用馬爾可夫分析的條件是被分析對象應滿足馬爾可夫鏈[1]，即過程在每一時刻的狀態僅僅取決于該過程中前一時刻的狀態，而與這之前的狀態無關。各個學校在達標評價中的硬件條件，僅僅與前一年設備申報預算和購置有關，而與此前學校硬件條件無關，基本符合馬爾可夫分析條件。

馬爾可夫分析的方法是先對2006年和2007年全地區達標學校情況進行統計分析，形成遷移矩陣，將該矩陣歸一化后成為概率矩陣，最后根據概率矩陣計算出2010年全地區中小學校達標的概率。

首先，對1 675個學校的2006年和2007年情況進行評估打分。然后，根據2年的分數分布按5個分數段（注：60分以上為達標）進行統計，結果見表2。表中數據具體解釋如下：

第2行第2列數據38，表示在2006年得分為30分以下，而在2007年得分仍然為30分以下的學校共有38個；第2行第3列數據22，表示在2006年得分為30分以下，而在2007年得分上升為30～40分之間的學校有22個；第3行第2列數據6，表示在2006年得分為30～40分之間，而在2007年得分下降為30分以下的學校有6個；其他數據以此類推。

3 馬爾可夫分析的過程與結論

將表2中的數據進行行歸一化處理后得到表3所示的歸一化遷移表。所謂行歸一化，就是計算出每個數字在本行全部數字之和中所占比例，使每行比例數字之和等于1。

由歸一化后的2006～2007年達標學校數量遷移表可得遷移矩陣A，因為該矩陣的每行之和為1，所以被稱為概率矩陣。概率矩陣的特點是其n次冪仍然是一個概率矩陣。概率矩陣A為：

從2006年到2010年一共要經歷4年。根據馬爾可夫分析的方法，計算出概率矩陣A的4次冪矩陣A[4]，然后對A[4]提供的數據進行分析，即可預測達標情況。使用MATLAB軟件計算概率矩陣A的4次冪矩陣如下：

A[4]矩陣中的第5列的5個元素表達出的信息為：0.088 2表示在2006年30分以下的學校到2010年達標（60分以上）的概率為0.088 2；0.184 4表示在2006年30～40分的學校到2010年達標的概率為0.184 4；0.344 1表示在2006年40～50分的學校到2010年達標的概率為0.344 1；0.569 9表示在2006年50～60分的學校到2010年達標的概率為0.569 9；0.773 5表示在2006年50～60分的學校到2010年達標的概率為0.773 5。

由表2可見，2006年30分以下、30～40分、40～50分、50～60分、60分以上等5個分數段學校的數量分別為69、295、665、542、104；學校總數為167 5。于是可以計算出各分數段的學校比例分別為0.041 2、0.176 1、0.397 0、0.323 6、0.062 1（即：69/167 5、295/167 5、665/167 5、542/167 5、104/167 5）。最后計算出2010年全部學校達標（60分以上）的平均概率為[2]：

這個數據也可以解釋為，按試行的評價指標體系進行評估，到2010年應有40.52%的學校可以達標，即不能夠實現2010年全部學校達標。

問題解決的途徑：調整改變試行評價指標體系中的權值。如果不改變權值而繼續使用試行評價指標體系進行評估，要到2010年實現本地區全部學校達標就必須加大學校硬件建設，應該在現在的基礎上再增加1.5倍的經費投入。

參考文獻

[1]吳育華.管理科學基礎[M].天津:天津大學出版社，2006

[2]艾倫，艾霽野.基礎教育質量監測與評價的測量工具研究[J].中國教育技術裝備，2008(6):1—7，14