一則基于合作學習的探究性教學案例

胡靈波

一、教學設計的背景和思路

浙教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》七年級下冊第一章三角形中，在研究了三角形全等的四種判定方法后，在課后練習第23頁給出了這樣一個題目：有兩條邊和一個角分別對應相等的兩個三角形是否全等?這個問題其實涉及到兩種情況：一、這個角是兩條邊的夾角；二、這個角是其中一邊的對角．對于第一種情況，兩個三角形一定全等，即SAS定理，而第二種情況的結論則具有一定的綜合性和復雜性，在以往的教學中，受應試功利主義的影響，教師往往直接舉出反例，說明這樣的兩個三角形不一定全等，這種教學導致的結果是經過一段時間以后，大部分學生只知道不一定成立，因為有SAS定理，而反例早就拋到腦后了．其實，在這個結論的探索過程中不僅用到很多相關知識，而且涉及到分類思想、實驗操作等方法論的內容，非常具有研究的價值．

美國《幾何》教材中，編排了大量體現一種應用性學習的課程——設計作業．即在綜合所學的知識和技能的基礎生，通過對有關問題的探究，提出解決問題的方案策略，再根據正確的策略進行實踐操作得到問題的結論．美國Massachusetts(馬薩諸塞州)1998版初二幾何教材關于設計作業涉及一個課題：使用變形．其主要內容是這樣描述的：選擇一個關于三角形全等的條件和方法，然后寫出一個計劃來證明轉變后的條件和方法．

上述中美兩套教材涉及的兩個問題不謀而合，于是，筆者就這個問題設計了一節基于合作學習的探究性教學案例，試圖通過體驗感悟、實踐操作、發現問題、解決問題、表達與交流等活動方式，讓學生更好地理解數學，學會象數學家那樣思考和認識數學世界，使數學學習成為數學探究的簡約復演，即數學的“再創造”

二、教學實錄

上課開始，教師用多媒體出示課題名稱：三角形條件全等的拓展和應用，開門見山提出問題：前幾節課我們研究了三角形全等的條件，大家回憶一下，一共有哪些方法可以判斷兩個三角形全等?

學生齊聲回答：SSS，SAS，ASA，AAS．

教師板書這四種方法后，接著說：很好，我們知道，這4種方法都是從三角形的基本元素——邊和角出發進行討論的，這些條件不僅是邊或角中三個元素的組合，而且邊和角還有位置上的限制，如SAS中的角必須是兩條邊的夾角．那么是否還存在其他的組合呢?比如AAA，能判斷兩個三角形全等嗎?為什么?

學生1：不能．比如這兩個三角形形(指著手中的一個三角板)，三個內角分別都是45°，45°，90°，但這兩個三角形顯然不全等．

教師：非常好!這樣的反例很多，其實，如果僅僅已知三角形的三個內角，我們可以畫出無數個三角形，也就是說，已知三角形的三個內角，三角形的形狀和大小是不能確定的．

所以，AAA不能判定兩個三角形全等．

教師接著追問：那么SSA呢?能否用這樣的條件判斷兩個三角形全等？學生一時語塞，陷入沉思．

片刻后，教師啟發道：這個問題相當于讓我們探究——有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎?

課件顯示：

探究——有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎?

教師繼續啟發：我們很難直接想到明確的答案．那么首先讓我們來思考用什么方法可以解決這個問題呢?

話音剛止，學生2立刻舉手發言：不一定全等，當已知角是直角時，兩個三角形全等；當已知角是鈍角時，兩個三角形全等；當已知角是銳角時，兩個三角形不全等．

教師驚嘆：太棒了，你幾乎說出了這個問題的正確答案，你能告訴同學們，你是怎么思考的嗎?

學生2猶豫一下，說：我直接想出來的．教師微笑：哦，直接想出來的，不錯，說明你的數學直覺很好，但解決問題僅僅憑數學直覺是不夠的．再想想我們在說明SSS，SAS，ASA，AAS定理時，是用什么方法得到的?

學生2：哦，對了，畫三角形，已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，畫出這個三角形，然后把畫得的三角形跟同學進行比較，就知道能否全等了．

教師：非常好!下面我們一起動手通過畫三角形來探究這個問題．

課件顯示：

小組合作學習：

1．每組分別編一個畫三角形的作圖題，要求畫一個三角形，使這個三角形的兩邊和其中一邊的對角是已知量．(注意：要使已知條件能構成三角形，否則要重新調整數據)

2．根據每組自編的題目，每個組員畫出滿足要求的三角形．

3．把你畫出的三角形跟組內其他同學所畫的三角形進行比較，它們全等嗎?

4．請小組代表在班上交流你們組發現的結論．

小組操作，教師巡視，參與指導和點撥，約十分鐘左右，學生紛紛舉手要求發表意見．

學生3：我們組從最簡單的情況入手，設計的題目是：求作△ABC，使AB=4，AC=3；∠C＝90°．我們發現滿足條件的三角形的形狀和大小都是確定的，由此可以得到，當SSA中的角為直角時，三角形全等．其他情況還在探索中．

實物投影展示：組內同學所作的四個滿足條件的三角形，分析比較后得到四個三角形全等．

教師：很好，有沒有與他們得到的結論一樣的小組?

小組1舉手示意．

教師繼續追問：其他小組有不同的意見嗎?

學生4：我們小組設計的題目是：求作△ABC，使AB＝4,AC=2，∠C=120°．我們發現滿足條件的三角形的形狀和大小也是確定的，由此可見，當SSA中的角為鈍角時，三角形全等．(實物投影展示實驗結果)

教師：非常好，有沒有小組設計的題目中的已知角是銳角的情況?

學生5：我們小組設計的題目是：求作△ABC，使AB=3，AC=2，∠C=60°．但是我們發現滿足條件的三角形的形狀和大小也是確定的，由此可見，當SSA中的角為銳角時，三角形也是全等的．(實物投影展示實驗結果)

學生6馬上站起來，發表意見：不對，我們小組設計的題目是：求作△ABC，使AB＝3，AC＝4，∠C=30°，發現滿足條件的三角形可以畫出兩個，也就是說滿足條件的三角形的形狀和大小是不確定的，由此可見，當SSA中的角為銳角時，三角形不全等．(實物投影展示實驗結果)

教師：同學們，從實驗數據看，這兩組同學說的都有道理，那么問題出在哪里呢?

這時，同學們陷入了沉思中，學生7猶豫著站起來了：這里的角都是銳角，我覺得好像跟兩條已知邊有關系，如果第二個題目(指學生6的題目)中的AB取5的話，那么又只能畫一個三角形了．

其他同學若有所悟，教師啟發：很有道理，同學們繼續觀察，全等的時候，兩條已知邊有什么關系?不全等的時候，又有什么關系?

學生7：我想應該是若已知角所對的邊是兩條邊中較長的那條邊時，那么兩個三角形全等；若已知角

所對的邊是兩條邊中較短的那條邊時，那么兩個三角：形不一定全等．

至此，通過教師的點撥和學生的積極參與，問題已經得到了很好的解決，教師投影總結問題的各種情況，并歸納出直角的情形，其實是HL定理，指出關于定理的證明留到以后再完成，出示HL定理的應用．

投影顯示：

沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個角的平分線嗎?

小紅的畫法：

如圖，用三角板畫角平分線的方法：

(1)利用三角板在∠AOB的兩邊上分別取OM=ON；

(2)分別過點M，N畫OM，ON的垂線，交點為P；

(3)畫射線OP．

則射線OP就是∠AOB的角平分線．

師生共同完成解答過程，最后總結本節課的知識和方法．

三、課例分析

關于公式、定理、法則教學課，宜側重選用嘗試發現、自主探索方式、教學實驗方式和多向合作交流方式．本節課從已有的判定三角形全等的條件入手，通過類比改變條件，嘗試發現的方式拋出問題，放手讓學生通過幾何實驗(畫圖)的方法以及自主探索、多向合作的方式進行探究性學習，從而得到問題的解決．

1．關于合作

這里的合作包括三方面的合作：師生合作、組內合作、組間合作．在本節課中，教師是探究活動的組織者，是探究材料和學習任務情境的提供者，是探究方法手段設計的幫助者．而且，教師對學習過程進行監控，對學習中存在的問題提出建設性意見，指導學生反思整個探究學習．組內合作與組間合作首先應注意如何合理分組，筆者根據組內人員異質(即基礎水平有上、中、下三類)、組間同質的原則，利用位置上的方便，采取前后兩桌四人一小組．

本節課通過教學實驗方式和多向合作交流方式的實施，使問題得到圓滿解決的同時，也使學生初步認識數學的另一個側面，自覺領會和遵循社會人生存的規范和準則，在發揮個體作用、經受個體競爭考驗的同時，可啟迪學生善于與在人合作，使學生的團隊精神和競爭意識得到激勵和培養．

2．關于探究性學習

在傳統的課堂教學中，學生體驗到的數學基本上是“數學成品”，學生很少有機會嘗試、實驗或探究，找尋各種不同的問題答案．有效的數學學習活動不能單純地模仿與記憶，學習不單是聽講，而且還應研究、發現或實驗．動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式．在探究性學習模式中，教師呈現給學生的是一個或多個問題，或需要予以解決的疑難情境．教師對問題不給予直接的答案，學生根據問題有目的地動手實踐、自主探究、分析信息，同教師或其他同學進行交流討論，最終解決問題．在這一過程中，教師的任務主要是給予學生適當地引導，沒有教師的引導．學生會失去探究的方向．在大多數學習過程中，學生往往只能獨立解決部分難題，探究性學習也不是經常獨立運作的，需要小組內部和外在的反饋，以幫助理解問題、理解對象的結構．有些幫助有助于學生形成合理的認知策略，保證學習的順利進行．本節課，通過學生自主編寫三角形作圖題來研究三角形全等的判定條件，從方法論的高度給學生以啟發；同時，在幾何作圖的過程中，需要用到一些作圖原理，通過合作交流，彌補個別學生作圖知識的不足．

本節課，不僅通過組內合作探究，而且通過組間互補，使問題得到圓滿地解決．