奇妙的完全數

韓雪濤

在遙遠的古希臘有一個著名的數學學派——畢達哥拉斯學派.這一學派對數的性質異常感興趣.他們發現，有些大于0的自然數的所有真因數（即那些可以整除該自然數的自然數,但不包括該自然數本身）之和比它們本身要大，如12的真因數有1、2、3、4、6，其和是16.另有一些自然數,它們的所有真因數之和比它們本身要小，如4的真因數有1、2，其和是3.那么，有沒有所有真因數之和恰好等于它本身的數呢？有！他們把這樣的數叫做完全數（也叫完美數）.這一學派的創始人畢達哥拉斯曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其所有真因數之和等于6.”這意味著他已經發現了最小的完全數6.下一個完全數是28，這也是這個學派所發現的.

接下來的兩個完全數，是畢達哥拉斯學派成員尼克馬修斯發現的．他在其《數論》一書中有如下一段話：“第三個在百位數的深處，是496；第四個卻在千位數的尾巴上，接近10 000，是8 128.它們具有一致的特性：尾數都是6或8，而且都是偶數.”

對于數學家來說，完全數的性質才是更為重要的.

公元前3世紀，古希臘著名數學家歐幾里得在《幾何原本》中給出并證明了一個漂亮的結論：如果2ⁿ － 1是一個素數（即質數），那么自然數2^n-1（2ⁿ － 1） 一定是完全數.2ⁿ－ 1 型的素數？這不就是梅森素數嗎？正是.因此，我們可以說，只要能找到一個梅森素數，根據歐幾里得的結論，我們馬上就可以得到一個完全數.容易看出，通過歐幾里得的結論得到的完全數都是偶數，于是一個非常自然的疑問產生了：是否每個偶完全數都具有歐幾里得給出的形式呢？歐幾里得之后2 000多年，18世紀的偉大數學家歐拉給了上述疑問一個明確的答復：如果一個數是偶完全數，則它一定可以表示成 2^n-1（2ⁿ－ 1），其中 2ⁿ－ 1 是素數.于是，經過歐幾里得與歐拉這兩位數學家的強強聯手，偶完全數的本質被解開了.

然而，完全數在自然數中是非常稀少的.現在，人們找到的完全數只有44個（與找到的44個梅森素數相對應，也包括6、28等），而且全都是偶完全數.那么，有沒有奇完全數呢？沒人知道.實際上，“奇完全數是否存在”這個問題目前仍是數學中的一大未解之謎呢！