反證法及其應用

劉唐軍

反證法是一種重要的證明方法，它在數學命題的證明中有直接證法所起不到的作用.如果能恰當地使用反證法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.反證法的邏輯思維性較強，數學語言的準確性高，對培養學生嚴謹的邏輯思維能力、閱讀理解能力、樹立正確的數學觀具有重要意義，同時它又是大學數學的基礎.因此，反證法在中學數學中占有重要地位.下面談談我對反證法及其應用的一些看法.

反證法是屬于“間接證明法”一類，是通過證明矛盾命題（即原命題的否定命題）為假，進而證明原命題為真的證明方法.反證法的實質就是肯定命題的假設而否定其結論，從而導致矛盾.具體地說，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則、定義或者已經證明為正確的命題相矛盾，從而使命題獲得證明.

反證法的理論依據是邏輯思維中的“矛盾律”和“排中律”.根據邏輯學，在同一思維過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷，其中至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”.對同一對象的肯定判斷與否定判斷，這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的，即“或者是A或者是非A”，這就是邏輯思維中的排中律.反證法在證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，至少有一為假，而已知條件、已知公理、定理、法則、定義或者已證明為正確的命題都是真的，且推理又是正確的.故否定的結論為假.再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的，于是便得到原命題結論必為真.這就是反證法的理論依據.

了解了反證法，必想知道哪些命題適宜用反證法證明.要一般地回答這個問題，是不容易的，也不是絕對的.在此，提出如下幾類適宜用反證法證明的命題.

1.有些命題含有涉及到各種“無限”形式的結論.如要證明某種元素的個數“無限多”，直線或平面間的交點“無限遠”（即平行），數的“無限表示”（即無理數）等.由于我們直接證明無限的手段還不多，因此常要借助反證法.