構造正四面體巧解立體幾何問題

楊天勇

在許多立體幾何問題中，由于圖形的不規則，因而線面關系也不是很直觀、明顯.如果我們依題設條件，構造出一個特殊的幾何體——正四面體，并將問題放入其中，充分利用正四面體的點、線、面及角的特殊性，將使得問題更清晰，從而較容易的解決這個問題.本文就此舉例說明構造正四面體在解題中的作用.

一、構造正四面體求點與面的距離問題

例1 A、B、C、D是空間不共面的四點，與這四點距離相等的平面個數最多有個.

解：如圖1，以A、B、C、D為頂點構造一個正四面體，在以A為頂點，BCD為底面的正三棱錐中，過高的中點且平行于底面的平面與這四點的距離相等，當交換頂點時，這樣的平面有4個，又因為過AB和CD的公垂線的中點且平行于AB和CD的平面到四點的距離也相等，而這樣的異面直線有三對，所以這樣的平面有3個，所以一共有7個.

評注：若僅憑空間想象，易漏解或多解.而把問題放到正四面體中分析，較直觀的得出結論.

例2 三棱錐P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，則點B到面APC的距離是 .

解：如圖2，延長AP到M，使AM=2a，連結MB，MC，則三棱錐M-ABC剛好是一個正四面體，所以點B到面APC的距離就是正四面體M-ABC的高h,h=26a3.

評注：在原圖中不易直接作出點B到面APC的距離，而延長AP到M構造正四面體M-ABC，易知點B到面APC的距離恰好就是這個正四面體M-ABC的高，較容易得出了結論.

例3 如圖3，已知半徑都為r的四個小球，其中三個兩兩相切放在桌面上，另一個小球堆放在這三個小球的上面，求小球堆放的高度.

解：顯然四個小球都兩兩相切，連接它們的

球心A、B、C、D后得到一個邊長為2r的正四面體D-ABC，如圖4，并且面ABC平行于桌面，且到桌面的距離為r，而正四面體D-ABC的高DO=26r3，所以小球堆放的高度h=DO+PD+OT=26r3+r+r=(6+26)r3.

評注：構造正四面體并利用其性質解答本題，思路清晰，較容易得到結論.

二、構造正四面體求空間角問題

例4 已知a、b為兩條互相垂直的異面直線，過空間一點最多可作與a、b都成60°角的直線有 條.

解：∵正四面體的兩條對棱互相垂直，∴任取兩條對棱所在直線分別為a,b，如圖5，∵AC，BC，BD，AD與AB，CD都成60°角，故這時只需過空間任一點P分別作與BC、AC、BD、AD平行的直線即可，而且只有這四條，故結果有4條.

評注：若僅憑空間想象，易漏解或多解.

例5 PA、PB、PC是從點P出點的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成的角是 .

解：如圖6，以P、A、B、C為頂點構造一個正四面體P-ABC，那么在正四面體C-PAB中，PC和平面PAB所成的角為正四面體的側棱和底面PAB所成的角，由正四面體性質，易求得這個角為玜rccos33.

評注：根據正四面體的性質及特征，構造正四面體P-ABC，從而快速解答問題.

三、構造正四面體求體積的問題

例6 三棱錐P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

解：如圖7，延長AP至M，使AM=2a，連接MB，MC，則三棱錐M-ABC正好是一個正四面體，∴V㎝-ABC=212(2a)3=223a3,∴V㏄-ABC=12V㎝-ABC=23a3.

評注：由原圖求三棱錐P-ABC的底面積容易，但點P到平面ABC的距離卻不好求，而據條件知易構造正四面體M-ABC，則所求三棱錐P-ABC的底面積剛好是此正四面體的底面積、高是正四面體高的12，故借助正四面體的體積易求出最后結果.

四、構造正四面體求證線面垂直問題

例7 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=2AA1,∠A1AD=∠DAB=∠A1AB=60°，求證A1A⊥截面B1D1C.

證明：如圖8，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，延長AA1至P使得AP=AB，=連接PB、PD、BD，則符合題意的三棱錐P-ABD正好是一個正四面體，連接A1B、A1D，由正四面體的性質易知AP⊥平面A1BD.又A1D∥B1C，BD∥B1D1，∴平面A1BD∥平面B1D1C，∴AP⊥平面B1D1C，∴AA1⊥截面B1D1C.

評注：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，直接證明A1A⊥截面B1D1C，需作輔助線，使得AA1與面B1D1C中的兩條相交直線垂直，但不易作出，而根據題意構造正四面體P-ABD，卻較容易證出這個問題.

通過以上例子可以看出如果我們在平時的學習過程中，注意充分利用正四面體的點、線、面及角的特殊性，把一些不規則的圖形構造成比較規則的正四面體，利用正四面體的特殊性靈活解題，將會收到理想的解題效果.

參考文獻

［1］劉允忠.正四面體的性質及應用.數學通訊.2002年第7期.

［2］沈文選.正四面體的判定與性質.數學教學研究.1994年第3期.