圓錐曲線問題　平面幾何處理

熊星飛

圓錐曲線綜合題是高考命題的熱點內容之一，向來作為壓軸題出現，成為考生能否取得高分的關鍵.這類題目大都以直線、圓或圓錐曲線知識作為載體，綜合函數、不等式、三角、數列等知識，涉及的知識點較多，重在考查思維能力和計算能力，要求考生能夠結合已經掌握的有關直線、圓、圓錐曲線的知識與方法，對面臨的問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會用類比、歸納和演繹進行推理；能合乎邏輯地、準確地進行表述.調查表明，很多考生對解析幾何綜合題有一種畏懼感，在探索思路、分析求解過程中經常會出現“絞盡腦汁而無從下手，運算繁雜而中途作廢”等思維受阻現象.

在解題中若能緊扣圓錐曲線的定義，并結合平面幾何的方法來探究思路，常能使問題得到簡潔的解決，大大地減少運算量，提高解題效率.

例1 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦點F的弦AB，對應于焦點F的準線l與對稱軸交于點P.求證：∠APF=∠BPF.

分析：按通常的解析幾何方法證明，須將直線方程(另外設定)和橢圓方程聯立，通過韋達定理表達出點A與點B的坐標關系，再利用夾角公式或者直線AP與BP的斜率關系來證明，運算復雜.若用平幾知識考慮，只要證PF是△APB的角平分線，于是聯想到三角形內角平分線定理的逆定理，馬上可證得.

證明：過A點作AM⊥l，過點B作BN⊥l，垂足分別為M、N.由AM∥FP∥BN，得MPNP=AFBF=AMBN,又∠AMP=∠BNP=90°蕁鰽MP∽△BNP蕁螦PM=∠BPN,

∴∠APF=∠BPF.

評注：在證題中緊扣圓錐曲線的定義，利用相似三角形對應角相等得出結論；此命題同樣適用于雙曲線與拋物線.

例2 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e，過焦點F的弦AB(點A在x軸下方)滿足〢F=λ〧B擼若弦AB的傾斜角為θ，則有e玞osθ=λ-1λ+1.

分析：通過對橢圓焦點弦的運動，可以發現，弦的傾斜角決定著λ的值，即：θ與λ存在著某種函數關系，而此題探求的正是這種關系.

問題涉及到離心率、弦的傾斜角以及焦半徑比例，故可由橢圓的第二定義，結合平面幾何的知識和三角知識構造直角三角形，直接建立θ、λ和離心率e三者間的關系.

證明：(玦)當λ>1時，設對應于焦點F的準線l與對稱軸交于點P，過點A作AM⊥l，過點B作BN⊥l，垂足分別為M、N，過點B作BC⊥AM，垂足為C.設|BF|=x,則|AF|=λx，由橢圓的定義可知|AM|=λxe,|BN|=xe,易知四邊形MNBC是矩形，|AC|=λxe-xe，在Rt△ABC中，∠CAB=∠AFO=θ，=∴玞osθ=|AC||AB|=λxe-xe,λx+x=λ-1e(λ+1)，即=e玞osθ=λ-1λ+1.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”