股價服從跳擴散的可轉換債券定價模型

一、引言

可轉換債券（簡稱可轉債）是一種中長期的混合型融資工具，一方面屬于公司債券范疇，投資者可自愿選擇持有至到期日獲得本金和利息；另一方面可選擇在約定的時間內將其轉換成發行公司的股票。因此，可轉債兼具債券和股票的優點，有籌資和避險的雙重功能，同時為資金管理提供了兼顧固定收益和未來收益的資金分配策略。

自從1983年美國的NEWYORK ERIE公司發行世界上第一張可轉債以來，以其獨特的金融性質逐漸為投資者們所熟悉并受到了廣泛歡迎。2007年肆虐全球金融市場的次級債風暴，將企業的借貸成本推升至5年高點，可轉債為這些不堪信貸成本重負的企業，提供更加可行的出路。

由于可轉換債券引入我國時間不長，市場投資者對其價值還不是很了解，相關的理論研究還集中在定性分析和條款設計上。在這個背景下本文研究可轉換債券價值，對我國可轉換債券市場以及金融產品的創新都有非常重要的理論意義和現實意義。

二、股票價格行為特征

由于在現實的金融市場當中存在由于一些重要信息的到達引起股價的不連續變化，令v(s，t)表示到期時間為T的可轉債在t時刻的價值，股票價格s用以下跳擴散過程來刻畫更具有現實意義：

dstst=μdt+σdzs+udqt（1）

其中μ和σ分別是股價的期望回報率和波動率，dZs是標準的維納過程，dqt是描述發生跳的點過程：

dqt=0(ω1，不發生跳）

1（ω2，發生跳）

在[t，t+dt]]時，不發生跳的概率為prob(ω1)=1-λdt，發生跳的概率為prob(ω2)=λdt，λ稱為跳的強度。u是描述跳的幅度獨立同分布隨機變量，當dqt=1時，即對事件ω2，[s]=st+-st=ust。這里st=st-，u＞-1。當u＞0時，st+＞st，即股價在t時刻往上跳；而當u＜0時，st+＜st，即股價在t時刻往下跳；但在任何情況下，股價不可能為負，即

st+=st(1+u)＞0

故u＞-1。

用隨機微分方程描述的股價st的演化，稱為股價遵循跳擴散模型，是Merton在1976年提出的。跳擴散模型的金融意義：股票價格的總變化由兩部分組成。第一種變化是價格的正常振動，例如供需的暫時平衡，經濟前景的變化等，這種變化可以用幾何布朗運動來描述，它具有連續的樣本路徑。第二種變化是價格的不正常振動，它是由于重要新信息的到達，對股價產生重大影響，一般來說，這樣的信息是關于具體公司和行業的，對整個市場影響不大，屬于“非系統風險”，這種變化可以通過反映信息重要影響的“跳躍”過程來刻畫。

三、可轉債的單因素定價模型

首先構造投資組合

∏t=vt-Δtst（2）

Δt是t時刻賣出的股票份額。

由于存在刻劃股票跳躍的Poisson過程，因此希望直接通過Δ對沖，使得投資組合∏t在（t，t+dt）是無風險的，這是不可能了！但是由于跳躍部分來自于具體公司或行業的新的重要信息的披露，因此它表示為市場無關的“非系統”風險，因此可以認為投資組合∏t的期望收益率是無風險利率，即

E(d∏t)=r∏tdt（3）

根據模型（1），在[t，t+dt]時段內，股價有兩種可能：

（1）若st不發生跳，即對于事件ω1，由于

vt=v(st，t)

因此由It公式

d∏t(ω1)=dvt-Δtdst=vt+12σ2st22vs2dt+vs-Δtdst（4）

（2）若st發生跳，對于事件ω2，有

d∏t(ω2)=v(st+，t)-v(st，t)-Δt(st+-st)=v((1+u)st，t)-v(st，t)-Δtust（5）

由(3)式有

r∏tdt=E(d∏t)

=(1-λdt)[d∏t(ω1)]+λdt[d∏t(ω2)]

=(1-λdt)vt+12σ2s22vs2dt+vs-Δtdst+λdt[v(1+u)st，t)-v(st，t)-Δtust]（6）

取

Δt=vs(st，t)

在等式（6）兩邊對u取期望，消去dt2項，并考慮到投資組合（2）式，立得

vt+12σ2s22vs2+(r-λk)svs-(r+λ)v+λEu(v((1+u)s，t))=0（7）

其中k=Eu(u)

設可轉債面值為B，轉股比例為m，則其邊界條件滿足：

v(s，T)=max(B，ms)

lims→∞v(s，t)=ms（8）

可見在跳擴散模型下，可轉債的定價模型可以表示為一個帶由數學期望產生的積分項的拋物型方程的Cauchy問題(7)(8)。

令

x=lns，η=ln(1+u)(-1＜u＜∞)，τ=T-t，v(ex，T-t)=f(x，τ)（9）

那么定解問題（7）（8）可轉化為

-fτ+12σ22fx2+(r-λk-σ22)fx-(r+λ)f+∫∞-∞f(x+η，τ)p(η)dη=0（10）

f(x，0)=max(B，mex)

limx→∞f(x，τ)=me2（11）

這里p(η)是隨機變量η-ln(1+u)的概率密度函數。

四、可轉債定價公式

定解問題（10）（11）是具有非局部積分項的拋物型方程Cauchy問題，用迭代法進行求解。令f=f0(x，τ)適合齊次方程初值問題：

f0τ-12σ22f0x2-(r-λk-σ22)f0x+(r+λ)f0=0（12）

f0(x，0)=B+(mex-B)+(13)

它的解可表成

f0(x，τ)=∫∞-∞f0(x，0)K(x，τ;ξ，0)dξ（14）

其中K(x，τ;ξ，0)是方程的基本解

K(x，τ;ξ，0=e-(r+λ)τσ2πτexp-(x-ξ)+r-λk-σ22τ22σ2τ（15）

令f=f1(x，τ)適合非齊次方程初值問題

f1τ-12σ22f1x2-(r-λk-σ22f1x+(r+λ)f1=λ∫∞-∞f0(x+η，τ)p(η)dη（16）

f1(x，0)=B+mex-B)+（17）

易見

f1(x，τ)=f0(x，τ)+g1(x，τ)（18）

我們就給出定解問題（10）（11）的形式解

f(x，τ)=f0(x，τ)+∑∞n=1gn(x，τ)

=∑∞n=0λn∫∞-∞K(n)(x，τ;ξ，0)[B+(mex-B)+]dξ（19）

因此K(1)(x，τ;ξ，0)作為(x，τ)的函數適合非齊次方程初值問題：

K(1)τ-12σ22K(1)x2-(r-λk-σ22K(1)x+(r+λ)K(1)=1(x，τ;ξ，)（20）

K(1)=0（21）

因此K(1)(x，τ;ξ，0)=τ1(x，τ;ξ，0)（22）

從而求出g1(x，τ)，再回到原變量x=lns，τ=T-t

利用數學歸納法，可以求得

gn(s，t)=1n![λ′(T-t)]ne-λ′(T-t)×[Be-rn(T-t)(1-N(dn1))+msN(dn2]（23）

其中

dn1=lnmsB+(rn-12σn2)(T-t)σnT-t（24）

dn2=lnmsB+(rn+12σn2)(T-t)σnT-t（25）

σn2=σ2+nσu2T-t（26）

rn=r-λk+nT-tμ+σu22（27）

得到在跳擴散模型下，可轉債定價的顯式解

v(s，t)=∑∞n=01n![λ′(T-t)]ne-λ′(T-t)×[Be-rn(T-t)(1-N(dn1))+msN(dn2)]（28）

其中參數由公式（24）—（27）表出。

五、結束語

股票價格的不連續性即跳擴散模型的引入使得可轉債定價模型較難把握，特別是模型的求解方面，在絕大多數情況下沒有顯式解，而是求助于數值方法。本文運用無套利原理得到可轉債的定價模型，用迭代法得到定價公式。在整個模型的推導過程中，我深切感受到微分方程理論在金融工程學中的重要地位，值得我們共同探討。

（作者單位：浙江工商大學統計學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文