最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制模型研究

［摘 要］ 最優(yōu)拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題是拍賣人通過合理的設(shè)計(jì)一系列規(guī)則使得自己的收益最大化的過程，這一過程顯然是追求“賣方剩余”最大化的。實(shí)際上，在拍賣人追求收益最大化的同時(shí)，競(jìng)標(biāo)人同樣會(huì)通過最優(yōu)策略的分析，使自己的收益最大化。這種雙方博弈的結(jié)果自然導(dǎo)致一種均衡狀態(tài)的出現(xiàn)，這種均衡狀態(tài)是一種納什均衡狀態(tài)，這種狀態(tài)下的社會(huì)資源配置也是最優(yōu)的。本文試圖從傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型入手，將原有模型進(jìn)行擴(kuò)展研究，得出拍賣品數(shù)量和拍賣價(jià)值離差等對(duì)網(wǎng)上拍賣的影響，從而提出一個(gè)現(xiàn)有電子商務(wù)環(huán)境下的最優(yōu)拍賣機(jī)制模型。

［關(guān)鍵詞］ 最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制；模型

［中圖分類號(hào)］F724.6［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］1673-0194（2008）17-0098-04

0 引 言

拍賣一詞源于希臘語“augere”，原意是增加的意思。最開始只是通過拍賣賣一些不經(jīng)常用或者是稀有的物品。拍賣作為一門科學(xué)被廣大學(xué)者所接受不過半個(gè)多世紀(jì)的時(shí)間，Vickrey 作為拍賣領(lǐng)域的先鋒是從博弈論的角度開始研究的， 他于1964 年發(fā)表在金融雜志上的文章《Counterspeculation ，auctions and sealed tenders》被認(rèn)作是拍賣理論的開山力作，他也因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)于1996 年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。隨著Internet 和互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)熱潮的出現(xiàn)，網(wǎng)上拍賣顯示出勃勃生機(jī)，網(wǎng)上拍賣逐漸成為了最成功的電子商務(wù)模式，各國的研究學(xué)者也開始研究拍賣經(jīng)濟(jì)模型。

拍賣的經(jīng)濟(jì)模型一般從以下前提假設(shè)入手: ①單物品拍賣; ②所有競(jìng)買人和賣主都是風(fēng)險(xiǎn)中性的（ risk neutral）;③所有競(jìng)買人是對(duì)稱的; ④拍賣品具有獨(dú)立的私人價(jià)值;⑤最終支付額僅僅取決于報(bào)價(jià)額; ⑥競(jìng)買人之間是非合作博弈;⑦賣主就是拍賣人，不存在交易費(fèi)用。有學(xué)者將上述假設(shè)稱為私有價(jià)值模型（private-value mode）。Vickrey以上述模型為出發(fā)點(diǎn)，分析了傳統(tǒng)的英式拍賣、荷式拍賣和首價(jià)密封買賣之后，提出了他的經(jīng)典的拍賣模型——二價(jià)密封拍賣（也稱Vickrey拍賣）。Vickrey拍賣最顯著的特征是每個(gè)競(jìng)買人的占優(yōu)戰(zhàn)略都是按其真實(shí)支付意愿出價(jià)（“說真話”），這種拍賣機(jī)制顯然是激勵(lì)相容的。由于拍賣品最終歸于支付意愿最高的競(jìng)買人之手，它也是一種具有帕累托效率的配置機(jī)制。

本文所要研究的網(wǎng)上拍賣模型也是從私有價(jià)值模型分析入手，以分析傳統(tǒng)的網(wǎng)上最優(yōu)拍賣機(jī)制為切入點(diǎn)，在文章的第二、第三部分重點(diǎn)研究不同階段拍賣情形下的最優(yōu)參數(shù)設(shè)定問題，該擴(kuò)展模型的提出將對(duì)網(wǎng)上拍賣提供非常有價(jià)值的理論支持與指導(dǎo)。

1 傳統(tǒng)的最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制

私有價(jià)值環(huán)境是學(xué)習(xí)拍賣理論的一系列的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)前提。從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度，在這個(gè)環(huán)境中，最優(yōu)機(jī)制產(chǎn)生相同的收益。首先本文對(duì)模型進(jìn)行描述。

假定有n個(gè)獨(dú)立的競(jìng)標(biāo)人，競(jìng)標(biāo)人i，i=1，…，n有一個(gè)固定的保留價(jià)格vi，現(xiàn)行價(jià)格如果超過了vi，競(jìng)標(biāo)人將不再投標(biāo)，為了簡(jiǎn)單起見，假定競(jìng)標(biāo)人的保留價(jià)vi服從均勻分布［α-β，α+β］，其中α是均值，β是離差。每一個(gè)競(jìng)標(biāo)人對(duì)每一單元的拍賣商品具有效用值U（vi-p），其中p是競(jìng)標(biāo)人贏得拍賣所要支付的價(jià)格。假定競(jìng)標(biāo)人都是風(fēng)險(xiǎn)中性的（risk-neutral），拍賣商品的供給量為m。

假設(shè)bi（vi）代表競(jìng)標(biāo)人i最后提交的價(jià)格。可以看成為前文提到的競(jìng)標(biāo)人提交給“代理投標(biāo)”競(jìng)標(biāo)價(jià)格。利用前文的結(jié)論，得知在Vickrey拍賣中，bi（vi）= vi對(duì)競(jìng)標(biāo)人i是占優(yōu)策略。

令v（1），…，v（n）為實(shí)際保留值的統(tǒng)計(jì)順序， v（1）最高，v（n）最低。從前文分析可知，具有私有價(jià)值v（1），…， v（m）的競(jìng)標(biāo)人將贏得拍賣物品。他們將支付的價(jià)格為v（m-1）。

假設(shè)不考慮參與成本，如果拍賣人設(shè)定的最小初始投標(biāo)價(jià)r（minimum initial bid）為0元，所有的競(jìng)標(biāo)人都會(huì)發(fā)現(xiàn)競(jìng)標(biāo)是合理的。在拍賣進(jìn)行過程中，不斷地會(huì)有新的競(jìng)標(biāo)人加入。令λ>0代表單位時(shí)間進(jìn)入拍賣的流量。很明顯，當(dāng)拍賣人選擇設(shè)定最小初始投標(biāo)價(jià)時(shí)，不利于吸引更多的競(jìng)標(biāo)人加入。因此γ∈［α-β，α+β］決定了競(jìng)標(biāo)人的有效到達(dá)速率，可以表示為：

λ=λ

。（1-1）

下面將網(wǎng)上拍賣運(yùn)行的相關(guān)成本考慮進(jìn)去。

（1）固定成本：維持拍賣的固定成本。這種成本雖然固定發(fā)生，但并沒有確定的值，所以在模型中沒有考慮。

（2）庫存保持費(fèi)：用h代表單位項(xiàng)目單位時(shí)間的庫存保持成本。

（3）廣告成本：通常情況下，這部分廣告費(fèi)用是和瀏覽廣告的次數(shù)相關(guān)的，拍賣人每單位流量（例如λ）支付δ元。

那么全部成本就可以表示為：

C=mht+δλ。

那么網(wǎng)上拍賣的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題實(shí)際上就是解決拍賣人最大化收益問題。

Max ∏（t，m，λ）=mγ+(α+β-γ)

-mht- δλ；（n>m）

nγ-mht- δλ。（n≤m） （1-2）

其中：

n=λt（）。

命題1：當(dāng)n>hm時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)的拍賣時(shí)間長(zhǎng)度t*：

t*=-。（1-3）

命題2：當(dāng)（C1）n>m；（C2）2β>ht；（C3）γ>ht時(shí)，存在有最優(yōu)的數(shù)量m*：

m*=λt(1

-

+)

+。（1-4）

命題3：當(dāng)γt（）>#981;時(shí)，存在最優(yōu)的到達(dá)率λ*：

λ*=-。 （1-5）

由于命題3的前一部分決定后一部分，分析的時(shí)候只需要討論前一部分即可。大多數(shù)網(wǎng)站在首頁展示一個(gè)特殊的商品，以使第一次瀏覽該網(wǎng)站的消費(fèi)者能夠很快地發(fā)現(xiàn)這種商品。隨著越來越熟悉該網(wǎng)站，這部分競(jìng)標(biāo)人會(huì)根據(jù)目錄來尋找自己需要的商品。網(wǎng)站首頁的空間有限。命題3給網(wǎng)站的設(shè)計(jì)者一個(gè)很好的建議，即到底應(yīng)該在首頁展示何種產(chǎn)品，當(dāng)競(jìng)標(biāo)人熟悉網(wǎng)站后應(yīng)該如何展示商品等。

以上介紹的是傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模式。在下一節(jié)中，本文將創(chuàng)新性地將傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型擴(kuò)展，使它更符合電子商務(wù)環(huán)境。

2 單階段最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制擴(kuò)展模型研究

互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)使得來自全球的競(jìng)標(biāo)人都有機(jī)會(huì)參與到某一個(gè)商品的競(jìng)標(biāo)，為了消除時(shí)間的限制，網(wǎng)上拍賣人一般都盡量延長(zhǎng)拍賣的時(shí)間以使得更多的競(jìng)標(biāo)人有機(jī)會(huì)了解到某類拍賣商品的存在，并且讓每一個(gè)競(jìng)標(biāo)人在方便的時(shí)候參加投標(biāo)。那么這樣競(jìng)標(biāo)人到達(dá)拍賣的時(shí)間就是一個(gè)隨機(jī)的過程。本文突破傳統(tǒng)的研究方法的限制，分析更接近實(shí)際情況的最優(yōu)拍賣機(jī)制。

在這一節(jié)，放松確定性假設(shè)即n=λt，假設(shè)競(jìng)標(biāo)人是以非靜態(tài)泊松過程到達(dá)網(wǎng)站，概率密度為λ（t），0

F（t）=λ（x）dx。（2-1）

命題4：如果競(jìng)標(biāo)人到達(dá)拍賣是一個(gè)給定的泊松過程，那么期望的最終拍賣價(jià)格E［P］為：

E［P］=α+β-2β （m+1）。（2-2）

給定泊松分布的分布函數(shù)F（t），計(jì)算期望最終拍賣價(jià)格α+β-2β。

一般說來，如果商品的私有價(jià)值的離差較小，商品會(huì)通過固定價(jià)格出售，只有離差較大的商品才會(huì)拍賣。因此拍賣人可以調(diào)整離差β來吸引更多的競(jìng)標(biāo)人。然而，通過計(jì)算，這一方法是行不通的。考慮下面的例子，假設(shè)拍賣時(shí)間T=l，私有價(jià)值的均值α=100。為了計(jì)算方便，本文假設(shè)網(wǎng)上拍賣模型中泊松過程的分布函數(shù)為F（t）= λat。

如果把拍賣價(jià)格看作是估值離差的函數(shù)。當(dāng)拍賣人僅提供一個(gè)單元的商品并且網(wǎng)站的流量非常低的時(shí)候（m=1， λa=3），高的估值離差很顯然會(huì)使情況變得更糟。當(dāng)網(wǎng)站的流量足夠大的時(shí)候（m=1， λa =6時(shí)），高的估值離差就會(huì)產(chǎn)生積極的影響。上述討論說明：只有當(dāng)競(jìng)標(biāo)人數(shù)足夠多或者拍賣的流量足夠大的時(shí)候，高的估值離差對(duì)最終拍賣價(jià)格有積極的影響。拍賣人必須確保下面的關(guān)于拍賣品數(shù)量m和網(wǎng)站流量之間的關(guān)系：如果在t時(shí)刻之后，競(jìng)標(biāo)人的數(shù)量的均值下降的話。拍賣人可以從高的估值離差中受益。邊際條件如下：

2（m+1）(1-e）

高的估值的不確定性說明這種商品沒有確定的市場(chǎng)價(jià)格。拍賣人必須非常謹(jǐn)慎地觀察拍賣價(jià)格的波動(dòng)。這就可以理解為什么很多網(wǎng)站都非常關(guān)心拍賣商品跌價(jià)（give-away）的風(fēng)險(xiǎn)，而且采取了很多有效的措施：

（1）大多數(shù)網(wǎng)站將具有高跌價(jià)風(fēng)險(xiǎn)的特征商品放到首頁，以增加這類商品的流量（λ）。使用這一技術(shù)的典型代表是uBid。

（2） Amazon和eBay是設(shè)置保留值拍賣網(wǎng)站的典型代表。拍賣人具有獨(dú)立的私有保留值，只有當(dāng)拍賣價(jià)格達(dá)到或者超過這個(gè)保留值的時(shí)候，交易才能達(dá)成。

（3）有些如Onsale.com的網(wǎng)站用一個(gè)有趣的方法來避免跌價(jià)風(fēng)險(xiǎn)。每一個(gè)拍賣開始于一個(gè)單元拍賣，隨著競(jìng)標(biāo)人數(shù)的增加，拍賣數(shù)量增加。這種方法可以既不放棄多銷售商品的機(jī)會(huì)，又可以盡量避免跌價(jià)風(fēng)險(xiǎn)。

拍賣網(wǎng)站一般都會(huì)設(shè)置一個(gè)相對(duì)較低的初始投標(biāo)價(jià)格。這樣，剛進(jìn)入網(wǎng)站的競(jìng)標(biāo)人會(huì)觀察到一個(gè)相對(duì)較低的價(jià)格，會(huì)吸引更多的競(jìng)標(biāo)人加入。

根據(jù)（2-2），期望的拍賣價(jià)格可以改寫為：

E［P］= α-β+2β（1-ω（t））。（2-3）

其中：ω（t）= 。

公式中的ω（t）度量的是最終拍賣價(jià)格比最高估值α+β低的比率。在整個(gè)拍賣過程中，隨著更多的競(jìng)標(biāo)人的加入，拍賣價(jià)格會(huì)單調(diào)遞增。隨著價(jià)格的升高，那些私有估值低于現(xiàn)行拍賣價(jià)格的競(jìng)標(biāo)人將自動(dòng)退出拍賣，這實(shí)際上也相對(duì)地減少了額外的參與者（降低了泊松概率密度）。泊松概率密度λ因此和ω（t）成比例。令ρ為競(jìng)標(biāo)人的邊際到達(dá)率，用來衡量由于價(jià)格下降而帶來的單位流量的增加。用數(shù)學(xué)形式來表述，可以得到：

λ（ω（t））= ρω（t）。（2-4）

由于泊松過程是密度函數(shù)在時(shí)間上的積分，收益函數(shù)即可以表示為：

∏（m，t）= mα+β-2β-ht。（2-5）

3 多階段最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制

在網(wǎng)上拍賣中，很多拍賣人不是一次將所有的物品都進(jìn)行拍賣，而是每次提供一定的份額。這提出了一個(gè)很有意思的問題：是否應(yīng)當(dāng)將拍賣物品分成多份？如果有益，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行幾次拍賣？每一階段的拍賣的數(shù)量是多少？能否收集到有用的信息來提高下一次拍賣的效果？

假設(shè)拍賣人需要拍賣的商品數(shù)量是固定的。他可以用一次拍賣將商品全部出售，也可以將商品分多次拍賣。由于每一次投入的拍賣商品數(shù)量少，每一階段的拍賣價(jià)格將會(huì)提高，拍賣人可以通過高的價(jià)格受益。另一方面，每一階段都將發(fā)生固定成本和單位商品的固定費(fèi)用。以上因素提出了兩個(gè)重要的拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題：

（1）為最大化多階段的全部收益，分幾個(gè)階段為最優(yōu)？

（2）給定了最優(yōu)的階段數(shù)，那么在每一個(gè)階段最優(yōu)的拍賣數(shù)量是多少？

令i＝1，2，…，T為階段數(shù)。本節(jié)公式中符號(hào)含義與前文介紹得一樣。令mi為第i階段拍賣品的數(shù)量。已證明在某一階段拍賣中，期望的拍賣價(jià)格可以寫成：

E［P］=α-β+2β

。（3-1）

從上式可以看出期望價(jià)格隨α和n的增加而增加，隨m的增加而減少。令t代表拍賣時(shí)間。為了方便計(jì)算，假設(shè)競(jìng)標(biāo)人以速率λ進(jìn)入拍賣。那么拍賣中的期望競(jìng)標(biāo)人數(shù)為n=λt，則可以將期望價(jià)格改寫為：

E［P］=α+β-2βθ（m+1），

其中：θ ==。

θ是對(duì)拍賣網(wǎng)站流量的度量。令mi代表階段i拍賣品的數(shù)量。每一階段的初始庫存量為xi，令fi（xi，mi）表示在從階段i開始到拍賣結(jié)束的最大收益。其中，mi∈［0，xi］。

在每一個(gè)階段，拍賣人的收益是由拍賣品數(shù)量和拍賣結(jié)束價(jià)格決定的。每一階段的結(jié)束價(jià)格由前面論證可以得到。假定只要現(xiàn)行的價(jià)格低于競(jìng)標(biāo)人的私有估值，進(jìn)入拍賣的競(jìng)標(biāo)人都會(huì)參與競(jìng)價(jià)。那么第i階段的拍賣人的收益為：

mi（α+β-2βθ（mi+1））。

在模型中，假定出售商品的成本為0，每一個(gè)階段的拍賣時(shí)間和長(zhǎng)度是固定的，競(jìng)標(biāo)人的數(shù)量也相同。同時(shí)假定n=λt足夠大，這樣以保證收益為正，即θ<。mi為決策變量，模型設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)就是找出每一階段的最優(yōu)mi*，使得拍賣人的各階段的總收益最大。

令h為單位時(shí)間拍賣人所發(fā)生的庫存成本。一些通過網(wǎng)上拍賣的出售的拍賣商品多為高科技產(chǎn)品，而這類產(chǎn)品折舊很快。因此這部分庫存成本是很高的。如果t為每一個(gè)階段的拍賣所持續(xù)的時(shí)間。為了計(jì)算的簡(jiǎn)便，可以令每一階段的庫存成本為miht。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法是解決多階段決策過程最優(yōu)化的一種有效的數(shù)學(xué)方法。本文就應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法來解決多階段拍賣的決策問題。通過上面的分析，結(jié)合每一階段的收益與成本，可以得到如下動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程：

fi（xi）=opt{ fi+1（xi-mi）+ mi（α+β-2βθ（mi+1））- miht-C}

fT+1（xT+1， mT+1）=0， i=1，2，…，T（3-2）

其中：θ=，fT+1（xT+1， mT+1）=0為中止條件。

命題5：拍賣人多階段的最優(yōu)收益為：

fi*（xi）=（T-1）T（T+1）+（α+β-2βθ）x-βθ+

（T+1）htx-TC。（3-3）

公式（3-3）是一個(gè)關(guān)于T的4次多項(xiàng)式，對(duì)T求導(dǎo)會(huì)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中有一個(gè)節(jié)點(diǎn)易見為0，另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)假定T1，T2。那么可以得到一個(gè)如何得到最優(yōu)階段T*數(shù)的計(jì)算方法，即：

T*=Arg Max{ fi*（xi，T1）， fi*（x，T2）， fi*（xi，m）}。 （3-4）

公式（3-4）說明最優(yōu)階段數(shù)可以從內(nèi)部解（T1，T2）和角點(diǎn)解（m）中獲得。如果T*=mz，說明拍賣人應(yīng)該每一階段拍賣出售一單元的商品。

拍賣人一旦決定了最優(yōu)階段數(shù)T*，他必須指出每一階段的最優(yōu)拍賣數(shù)量m*，命題6精確地確定了每一階段的最優(yōu)拍賣品的數(shù)量。

命題6：在階段i的最優(yōu)拍賣品數(shù)量為：

m*= m+，（3-5）

其中：θ=。

給定最優(yōu)的階段數(shù)，通過這個(gè)公式?jīng)Q定了每個(gè)階段的最優(yōu)拍賣數(shù)量。從命題6中可以看出高的估值離差導(dǎo)致早期的拍賣相對(duì)較少。相反，被消費(fèi)者關(guān)注程度低的商品一般估值離差程度較高。實(shí)際上，高的估值離差會(huì)使拍賣人得到一個(gè)相對(duì)較高的最終拍賣價(jià)格。這是因?yàn)椋绻麉⒓优馁u的競(jìng)標(biāo)人足夠多的話，那么拍賣人就有機(jī)會(huì)遇到對(duì)拍賣商品估值較高的競(jìng)標(biāo)人。

4 總 結(jié)

本文在分析了網(wǎng)上拍賣與傳統(tǒng)拍賣的不同以后，將傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型進(jìn)行橫向擴(kuò)展和縱向擴(kuò)展，得出了對(duì)拍賣人機(jī)制設(shè)計(jì)問題中很重要的結(jié)論，包括最優(yōu)的拍賣品數(shù)量、最優(yōu)的競(jìng)標(biāo)人到達(dá)率以及最優(yōu)拍賣時(shí)間等等，使其更接近網(wǎng)上商務(wù)的最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制。同時(shí)本文還對(duì)電子商務(wù)中新的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析，將最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機(jī)制擴(kuò)展到多階段情形，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，解決了多階段決策問題，計(jì)算出了最優(yōu)的拍賣階段，以及在每一階段中的最優(yōu)拍賣數(shù)量。使得網(wǎng)上拍賣理論的研究更加深入，理論體系更完善。特別需要指出的是，由于篇幅的限制，本文沒有給出具體的計(jì)算過程，詳細(xì)的計(jì)算過程可以參考作者的其他相關(guān)文獻(xiàn)。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文