用數學方法論指導“直線的方程”教學設計

〔關鍵詞〕 數學方法論；安排順序；教學內容；解析幾何

〔中圖分類號〕 G633.6

〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）04（B）—0046—01

“直線的方程”是解析幾何模塊的開篇內容，其教學的成敗，對學生能否學好解析幾何有著決定性的作用。我認為，從數學方法論的角度居高臨下地設計這一單元的內容，會使教學收到良好的效果。

“直線的方程”單元內容安排順序體現了解析幾何的方法論價值

解析幾何是用坐標法研究幾何圖形知識的一門數學學科，也就是用代數方法研究幾何問題的一門學問，在“數”和“形”之間實現了相互轉化。其主要特點是：以數(式)論形。為了達到“以數(式)論形”的目的，首先要用代數語言的“數”和“式”來描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題，然后再處理代數問題，分析代數結果的幾何含義，從而最終解決問題。具體在“直線的方程”中，任務有兩個：第一，建立直線方程；第二，利用直線方程討論直線的性質(即兩條直線的位置關系)。

實際上，為了建立直線方程，首先要刻畫直線的方向(直線相對于x軸正方向的傾斜程度)。對于刻畫直線的方向，有直線的傾斜角和斜率兩個概念。以上概念和公式之間的聯系，正好體現了解析幾何研究問題的方法論意義。具體地說，用傾斜角給出直線的方向后，仍是用一個幾何量來刻畫直線的方向，本質上仍未脫離平面幾何中“以形論形”的特點。為了達到“以數論形”的目的，自然想到與角有關系的數值——三角函數值。以傾斜角的正切值定義了直線的斜率之后，就可以用一個實數來表示直線的方向了，從而實現了“以數論形”的目的。但傾斜角概念的不足之處在于用k=tanα求斜率k時，仍脫離不了直線的傾斜角，即仍依賴于“形”才可以刻畫直線的方向。為此，直線斜率公式的引入就成為必要的了。直線斜率公式的實質在于可以由直線上任意兩點的坐標來確定直線的斜率，從而使斜率的計算徹底脫離了對傾斜角的依賴，即把求直線斜率完全地坐標化、代數化，從而達到真正意義上的“以數論形”。

“直線的方程”具體教學內容中的數學方法論價值

從微觀的角度看，“直線的方程”這一單元也具有豐富的方法論價值。對數學知識“合情合理”的“再創造”、“再發現”是“直線的方程”這一單元具體教學內容中的數學方法論價值。歸納、一般化、特殊化等數學中發明、發現的規律和方法都可以找到用武之地。

例如：直線傾斜角概念的引入無疑是一個歸納的過程，即可以從右上圖中看到直線的方向不同(相對于x軸的正方向的傾斜程度不同，x軸起了參照系或指南針的作用)。

為了方便，把直線的一個方向(一般是向上的方向)規定為直線的正方向就是一個“合情合理”的設想，進而把直線的正方向與x軸正方向的夾角規定為直線的傾斜角也就是一個“合情合理”的規定(當然也可以從旋轉的角度給出傾斜角的定義)。以上規定對于直線與x軸平行或重合的情況并不適用，那么，規定這時直線的傾斜角等于0°也就顯得“合情合理”。實際上，對“斜率”、“到角”以及“夾角”的概念也可以從“再創造”、“再發現”的角度作如上教學設計。這實際就是利用數學方法論的理論把數學的“學術形態”轉化為“教育形態”，從而用“火熱的思考”代替了“冰冷的美麗”。

結束語

由以上討論，無論是從數學的發展規律、數學的學科思想這樣的“宏觀”角度，還是從數學具體概念的發現、發明和創新等“微觀”的角度，“直線的方程”這一單元的教學都可以為數學方法論在教學中的指導意義提供成功的范例。自20世紀80年代以來，數學方法論在我國得到了迅速的發展，不僅形成了相對獨立的研究領域，而且取得了一系列重要的研究成果，更對實際的數學活動產生了十分重要的影響。