一道題，內(nèi)含三個(gè)０．６１８

某奧賽資料書上有這樣一道題目：

設(shè)有一個(gè)半徑為R的金屬球，帶有電荷Q，距球心O為x(x＞R)的地方再放置一個(gè)點(diǎn)電荷Q，如圖1所示。金屬球與點(diǎn)電荷帶有同種電荷(例如都是正電荷)，則這時(shí)點(diǎn)電荷與金屬球上電荷之間的相互作用力為多少?金屬球與點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)，斥力才能轉(zhuǎn)變?yōu)槲?

分析 由于點(diǎn)電荷的存在，金屬球的表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，我們可以用“鏡像電荷”來“替換”導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷，并仍保持導(dǎo)體表面和以外空間的電場不變。用假想點(diǎn)電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢分布。假設(shè)鏡像電荷為Q′，根據(jù)對稱性，Q′必然位于兩個(gè)球心的連線上的某一點(diǎn)。由于金屬球面是等勢面，對等勢面有貢獻(xiàn)的等效電荷Q，必位于球心，如圖2所示。不在球心的各電荷對球形等勢面的貢獻(xiàn)之和必須相互抵消(對球面上的每一點(diǎn)都成立)，應(yīng)有：Q′ r′+Qr=0(1)

即Q′(R2+x′2-2Rx′cosθ)12+Q(R2+x2-2Rxcosθ)12=0。

上式對球面上任一點(diǎn)都成立，即相當(dāng)于對任意θ都成立，利用這個(gè)關(guān)系，可解得：

xx′=R2(2)

Q′=-QRx(3)

為保持金屬球的總電量為Q，則在金屬球心處的等效電荷：

Qc=Q+QR/x=Q(1+R/x)(4)

這樣，我們就把點(diǎn)電荷Q與帶電金屬球(包括感應(yīng)電荷)的相互作用問題，轉(zhuǎn)變成一條直線上的三個(gè)點(diǎn)電荷Qc、Q以及Q′的相互作用問題。金屬球與點(diǎn)電荷的作用力，實(shí)際上就是點(diǎn)電荷Q與等效電荷Qc及像電荷Q′的作用力的代數(shù)和。

Q與Qc的相互作用力是斥力，根據(jù)庫侖定律F斥=14πε0QQcx2(5)

Q與Q′的相互作用力是吸引力，即：

F吸=14πε0QQ′（x-x′)2。(6)

以斥力的方向?yàn)檎瑒t合力：

F=Q4πε0｛Qcx2+Q′(x-x′)2｝，

整理得：

F=Q24πε0｛x+Rx3-xR(x2-R2)2｝。(7)

我們可以看出，作用力的大小取決于點(diǎn)電荷Q與金屬球的距離。為了進(jìn)一步了解作用力F(x)隨點(diǎn)電荷與金屬球的距離x的變化關(guān)系，還可以利用計(jì)算機(jī)輔助畫出F(x）-x變化曲線，如圖3所示。

從圖3可以看出，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時(shí)，相互排斥的作用力趨于零。當(dāng)距離逐漸減小時(shí)，感應(yīng)的影響逐漸加強(qiáng)，作用力隨距離的變化就復(fù)雜起來。約在x=x0處斥力達(dá)到最大值。進(jìn)一步減小距離時(shí)，斥力竟會(huì)下降。再連續(xù)減小距離時(shí)斥力竟下降到零并轉(zhuǎn)化為吸引力。我們最關(guān)心的一點(diǎn)，當(dāng)然是斥力和吸引力的分界點(diǎn)p的坐標(biāo)。為便于數(shù)學(xué)處理，令x=tR，利用P點(diǎn)的作用力為0，可得：

t5-2t3-2t2+t+1=0(8)

即（t3+t2-1)(t2-t-1)=0。

解出(8)，可得有實(shí)際意義的唯一實(shí)根為1．618。即當(dāng)點(diǎn)電荷Q離金屬球面的距離為0．618R時(shí)，作用力為零，距離大于0.618R時(shí)為斥力，小于0．618R時(shí)為吸引力。

發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)特別的分割點(diǎn)之后，我們非常驚奇，不禁要追問，當(dāng)點(diǎn)電荷Q離金屬球面的距離為0．618R時(shí)，鏡像電荷的位置和電量為多少?下面我們繼續(xù)討論：

根據(jù)(2)式，有：

x′=R2x=R2R+0.618R

=0.618R。

即鏡像電荷Q′離金屬球心的距離與點(diǎn)電荷金屬球面的距離相等，都是金屬半徑的0.618倍(這時(shí)鏡像電荷與源電荷的距離正好是球的半徑R)。

根據(jù)(3)式，有：

-Q′=Q#8226;Rx=QR1.618R

=0.618Q。

即鏡像電荷是源電荷電量的0．618倍。

一個(gè)靜電學(xué)題目的三個(gè)答案，都與黃金分割律的0．618直接聯(lián)系起來。大家都知道0．618在單變量函數(shù)進(jìn)行優(yōu)選的科學(xué)實(shí)驗(yàn)中和科學(xué)藝術(shù)中都是重要的判據(jù)。這樣，不但這個(gè)題目的計(jì)算結(jié)果因三次出現(xiàn)0．618而容易被記住，而且還增加了這個(gè)題日的審美情趣。

(欄目編輯羅琬華)