探測器具有多大動能才能飛達月球

2007年全國高考理科綜合II中第20題是一道關于天體運動的試題，涉及變力做功和功能轉化等知識點，許多資料提供的參考答案語焉不詳，本文試對此作具體分析。

原題 假定地球、月球都靜止不動，用火箭從地球沿地月連線向月球發射一探測器。假定探測器在地面附近脫離火箭。用W表示探測器從脫離火箭處飛到月球的過程中克服地球引力做的功，用Ek表示探測器脫離火箭時的動能，若不計空氣阻力，則( )

A．Ek必須大于或等于W，探測器才能到達月球。

B．Ek小于W，探測器也可能到達月球。

C．Ek=W2，探測器一定能到達月球。

D．Ek=W2，探測器一定不能到達月球。

解析 本題把地球、月球放到相對靜止的場景中研究探測器的運動，其實質是考查變力做功和能量轉化關系。起點高，難度大，學生需有較強的分析能力才能作答。

如圖1所示，探測器脫離火箭飛到月球過程中，最難通過的是平衡位置O。因為經過O點以后月球對探測器的引力大于地球對它的引力，合力將對探測器做正功使其速度增大，因此探測器只要能到達平衡位置O就能到達月球。設探測器質量為m′，從地面附近運動到O點過程中，克服地球引力做功為W′，月球引力對它做功為W月，由動能定理

-W′+W月=0-Ek，①

得 W′=Ek+W月。

又W′＜W，可知Ek＜W，故選項A錯誤，B正確。那么當Ek=W2時，探測器能否到達月球呢?這還需定量分析。

設地球、月球的質量分別為M、m，半徑為R、r，地心、月球中心到O點的距離分別為r1，r2。引力及克服引力做功均會導致引力勢能的變化，有W′=GMm′R-GMm′r1，W月=Gmm′r2-Gmm′r1+r2-R（勢能公式推導略）。

得Ek=GMm′R-GMm′r1+Gmm′r1+r2-R-Gmm′r2，②

同理可得W=GMm′R-GMm′r1+r2-r。③

要確定Ek與W的關系，需要知道地球質量M與月球質量m的比值、月地距離以及地球、月球半徑的大小等信息。查相關資料知Mm=81.3，R=6.38×106m，r=1.74×106m，月地平均距離r1+r2=3.84×108m。又探測器在平衡位置時有GMm′r21=Gmm′r22，得r1r2=Mm≈9，所以r1=3.46×108m。將以上這些數據代入②③式，可求得Ek≈0.996W，即探測器動能至少需要0.996W才能達到月球。

以上分析中用到了地球、月球的個體參數和引力勢能公式，這對于高中生來說確實超綱了。但并非除此以外別無他法了。在知道一些基本的物理常識的基礎上，我們還是能作一粗略的估算的。

因地月間的距離遠大于地球、月球的半徑，不妨把地球和月球都當作質點，如圖2所示。并設Mm=k2，得r1r2=Mm=k，r1r1+r2=kk+1。

根據萬有引力做功時的比例關系，探測器從A點運動到B點，月球對它做的總功為W′月=Wk2。因為在r1段月球對探測器的引力處處小于在r2段的引力，所以在r1段月球對探測器做的功W月＜kk+1W′月=Wk(k+1)。④

同理在r1段地球對探測器的引力處處大于在r2段時的引力，所以在r1段探測器克服地球引力做的功W′＞kk+1W。⑤

由①式得Ek=W′-W月，利用④⑤不等式，可推理得到

Ek＞kk+1W-Wk(k+1)=k-1kW。⑥

假如地球質量M是月球質量m的4倍，則由Mm=k2，可知k=2。由⑥式得，探測器的動能需滿足Ek＞12W才能到達月球，選項C錯誤，D正確。因此學生在判斷C、D選項是否正確時，須知道這樣一個物理常識：地球的質量大于4倍的月球質量（實際約為81倍）；若知道月球表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的1/6，地球半徑比月球半徑大，也可推理得到地球的質量至少大于6倍的月球質量。本題提醒我們：平時讓學生了解一些基本的物理常數對解題是大有裨益的。

(欄目編輯陳 潔)