梳理模型，速解２００８年高考物理壓軸題

2008年高考江蘇卷物理壓軸題是一道推陳出新、獨具選拔功能的創新題。該題既體現循序漸進的命題思想，又考察了高中物理的主干知識，包括“機械能守恒、能量守恒、功能關系、勻變速直線運動、牛頓定律、電磁感應、歐姆定律、動量定理”等。題設內容層次分明（1、2、3問分別對應于中等、優良、優秀三類考生），解題方法靈活多樣，是迎合新課改思想和錘煉物理思維的好題。

題（江蘇卷） 如圖1所示，間距為l的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為θ，導軌光滑且電阻忽略不計，場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區域的寬度為d1，間距為d2，兩根質量均為m、有效電阻均為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直。（設重力加速度為g)

（1）若a進入第2個磁場區域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區域，求b穿過第1個磁場區域過程中增加的動能ΔEk。

（2）若a進入第2個磁場區域時，b恰好離開第1個磁場區域；此后a離開第2個磁場區域時，b又恰好進入第2個磁場區域。且a、b在任意一個磁場區域或無磁場區域的運動時間均相等。求b穿過第2個磁場區域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q。

（3）對于第（2）問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區域時的速率v。



命題組提供以下參考解答；

原解 （1）a和b不受安培力作用，由機械能守恒知，ΔEk=mgd1sinθ①

(2)設導體棒b剛進入無磁場區域時的速度為v1，棒a剛離開無磁場區域時的速度為v2，由能量守恒知，

在磁場區域中，

12mv21+Q=12mv22+mgd1sinθ②

在無磁場區域中，

12mv22=12mv21+mgd2sinθ③

解得：Q=mg(d1+d2)sinθ④

(3)在無磁場區域中

根據勻變速直線運動規律

v2-v1=gtsinθ⑤

且平均速度v1+v22=d2t⑥

有磁場區域，棒a受到合力

F=mgsinθ-BIl⑦

感應電動勢E=Blv⑧

感應電流I=E2R⑨

解得：F=mgsinθ-B2l2v2R⑩

根據牛頓第二定律，在t到t+Δt時間內

ΣΔv=ΣFmΔt○11

則有：ΣΔv=Σ（gsinθ-B2l2v2mR）Δt○12

解得：v1-v2=gtsinθ-B2l22mRd1○13

聯立⑤⑥○13式，解得

v1=4mgRd2B2l2d1sinθ-B2l2d18mR。

由題意知

v=v1=4mgRd2B2l2d1sinθ-B2l2d18mR。

反復斟酌命題組提供的參考解答之后，感到有點不“順暢”：首先是書寫不夠規范，如第⑥式“v1+v22=d2t”中，t指時間間隔，而○11式之前“t到t+Δt時間內”中的t指時刻；其次是所列式子脫離物理定律或定理，數學處理也超出慣例，如所列的第○11式“ΣΔv=ΣFmΔt”不體現任何定律或定理，式中的F還是個變量，而對變量求和更是中學階段所棘手的處理方式。其實對該壓軸題的第（2）問，可以找到一個數學上的等效模型來迅速求解；對于第（3）問，可以根據動量定理，并利用“時間相等”這一已知條件列方程，聯立方程后亦可迅速求解，而且這一過程比較符合學生的物理思維習慣，以下是該壓軸題的速解過程。

速解 （1）a和b不受安培力作用，由機械能守恒定律可得：

ΔEk=mgd1sinθ①

(2)設導體棒剛進入無場區（離開有場區）時的速度為v1，導體棒剛離開無場區（進入有場區）時的速度為v2。依題意知，b棒穿過第2個磁場區與a棒穿過第2個無場區同步進行，這一過程的初態，a、b兩棒的速度分別為v1、v2；而末態，a、b兩棒的速度分別為v2、v1，因兩棒質量相等，故將a、b兩棒看作一個系統時，系統初態的動能與系統末態的動能相等，由能量守恒知，系統減少的重力勢能最后轉化為焦耳熱，即：

Q=mg(d1+d2)sinθ②

(3)由“a、b在任意一個磁場區域或無磁場區域的運動時間均相等”可推知，a穿出（即離開）任意一個磁場區域時的速率均同，即為v1。設導體棒穿過某個磁場區域（或無磁場區域）所需時間為Δt，由動量定理可得：

棒在無磁場區域：

mgsinθ#8226;Δt=m(v2-v1)③

棒在磁場區域：

（mgsinθ-F安）Δt=m(v1-v2)④

由③、④得：F安=2mgsinθ⑤

由歐姆定律及法拉弟電磁感應定律得：

I=E2R=Δ2R#8226;Δt

=B#8226;ΔS2R#8226;Δt=Bld12R#8226;Δt⑥

故F安=BIl=B2l2d12R#8226;Δt⑦

由⑤、⑦兩式解得：Δt=B2l2d14mRgsinθ⑧

或者是：gsinθ#8226;Δt=B2l2d14mR⑨

在無場區中，由勻變速直線運動的位移公式結合⑨式可得：

d2=v1Δt+12(gsinθ)#8226;Δt2

=v1Δt+12#8226;B2l2d14mRΔt

=(v1+B2l2d18mR)#8226;Δt⑩

將⑧式代入⑩式消去Δt，整理得：

v1=4mgRd2B2l2d1sinθ-B2l2d18mR，

a穿出第K個磁場區域時的速率

v=v1=4mgRd2B2l2d1sinθ-B2l2d18mR。

(欄目編輯陳 潔)