遺傳算法求解機(jī)會(huì)約束下半絕對(duì)離差投資組合模型

摘 要：建立了機(jī)會(huì)約束下的半絕對(duì)離差投資組合模型，求解機(jī)會(huì)約束時(shí)不將機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化為確定的等價(jià)類型，而把機(jī)會(huì)約束用隨機(jī)模擬技術(shù)來處理；應(yīng)用遺傳算法求解半絕對(duì)離差投資組合模型，并根據(jù)真實(shí)市場(chǎng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的有效性。結(jié)果表明：應(yīng)用隨機(jī)模擬技術(shù)和遺傳算法求解機(jī)會(huì)約束下的半絕對(duì)離差投資組合模型是可行的，且方法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步研究可以在工程優(yōu)化和投資分析等許多領(lǐng)域找到新的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：遺傳算法；機(jī)會(huì)約束；半絕對(duì)離差；投資組合模型；隨機(jī)模擬

中圖分類號(hào):F830.59 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1673-291X（2008）15-0090-02

引言

證券投資組合[1]，是指為了避免或分散大的風(fēng)險(xiǎn)，投資者將資金分散投資到若干種證券中，以降低風(fēng)險(xiǎn)。一般來說，把全部資金投在一種或極少種證券上，則不論證券的質(zhì)量多好，風(fēng)險(xiǎn)也是很大的，為了避免或分散較大風(fēng)險(xiǎn)，投資者可按不同的投資比例對(duì)多種證券進(jìn)行有機(jī)組合，即所謂證券投資組合，以期取得最大的經(jīng)濟(jì)效益。

1991年KONO等[2～3]提出了絕對(duì)離差投資組合模型，用收益率的絕對(duì)離差表示風(fēng)險(xiǎn)，由于絕對(duì)離差不具備良好的解析性質(zhì)，無法給出投資組合解的解析表達(dá)式。后來在絕對(duì)離差的基礎(chǔ)上，該模型發(fā)展成了半絕對(duì)離差投資組合模型[4～5]。半絕對(duì)離差投資組合模型更符合投資者的心理，且能用非數(shù)值算法求解。在現(xiàn)實(shí)生活中，投資者選擇證券投資組合，要求在實(shí)際收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，這就是機(jī)會(huì)約束下的投資組合模型[6～10]；一般來說，求解機(jī)會(huì)約束的方法通常是將機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的確定性等價(jià)類型來對(duì)其求解，但是現(xiàn)實(shí)中，能轉(zhuǎn)化為確定的等價(jià)類型的機(jī)會(huì)約束是很少的；隨機(jī)模擬是一種實(shí)現(xiàn)隨機(jī)系統(tǒng)抽樣實(shí)驗(yàn)技術(shù)。雖然隨機(jī)模擬是一種很不精確的技術(shù)，但對(duì)那些無法用解析方法處理模型卻是一種十分有效的方法。

遺傳算法[11～12]是建立在自然選擇和群體遺傳學(xué)基礎(chǔ)上的一種非數(shù)值計(jì)算優(yōu)化方法，隨機(jī)產(chǎn)生若干個(gè)染色體構(gòu)成的初始種群，通過對(duì)種群的選擇、交叉、變異等遺傳操作，從一初始解的種群開始迭代，逐步淘汰較差的解，產(chǎn)生最優(yōu)解。

大量實(shí)證結(jié)果表明：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的聯(lián)合分布往往呈現(xiàn)厚尾特征且服從自由度較低的分布，同時(shí)基于正態(tài)分布的各種資產(chǎn)定價(jià)定價(jià)理論在分布下通常也是正確的[2，13]。

一、模型的建立

在現(xiàn)實(shí)生活中，由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率本身具有隨機(jī)性，投資者選擇證券投資組合時(shí)，要求在實(shí)際收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，這就是機(jī)會(huì)約束下的投資組合模型，其數(shù)學(xué)表述為：

二、隨機(jī)樣本模擬

在資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布的情況下，模型（2）中的機(jī)會(huì)約束可能不一定有相應(yīng)的解析表達(dá)式，很難計(jì)算出相應(yīng)的確定等價(jià)類型，計(jì)算起來也很困難，故對(duì)這樣的模型采用隨機(jī)模擬技術(shù)來近似求解比較方便。模型（2）中的機(jī)會(huì)約束可采用隨機(jī)模擬（Monte Carlo）方法[14～15]近似計(jì)算，具體實(shí)現(xiàn)方法如下：

步驟1：置N=0，固定機(jī)會(huì)約束中的x，用Metropolis 算法從t分布的概率密度函數(shù)中產(chǎn)生M個(gè)服從t分布的樣本。

步驟2：判斷M個(gè)樣本的組合值是否大于R；如果大于R，則保留這M個(gè)樣本；則N= N+1。

步驟3：重復(fù)以上步驟1和步驟2共N次( N

≥1-a。

步驟4：利用步驟1的方法隨機(jī)產(chǎn)生大小為M的樣本，重復(fù)步驟1共T—N次。

步驟5：從以上步驟1、2、3、4中得到M×T維樣本矩陣。

三、遺傳算法

用遺傳算法求解模型（2）的基本思想是隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)初始種群，然后反復(fù)進(jìn)行選擇、交叉、變異等遺傳操作，并利用目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)對(duì)每一代的染色體進(jìn)行評(píng)價(jià)，給定終止條件，從而得到最優(yōu)解的最近解，具體算法過程如下：

步驟1：設(shè)置種群規(guī)模、最大遺傳代數(shù)、交叉概率、變異概率。

步驟2：在可行域內(nèi)，隨機(jī)生成二進(jìn)制編碼的初始染色體種群，并對(duì)初始種群進(jìn)行解碼和歸一化。

步驟3：計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)的值和每條染色體的選擇概率。

步驟4：根據(jù)選擇概率、交叉概率和變異概率對(duì)初始染色體種群進(jìn)行選擇、交叉、變異操作。

步驟5：重復(fù)以上步驟3和步驟4，直到滿足迭代終止條作，得出最優(yōu)染色體和目標(biāo)值。

步驟6：畫出迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系圖。

四、模型求解與實(shí)例分析

對(duì)上述算法應(yīng)用matlab軟件進(jìn)行編程求解。假設(shè)證券隨機(jī)收益服從自由度為m=5的t分布時(shí)，選取深證A股15支股票，2003年1月至2008年1月，共60個(gè)月的月收益數(shù)據(jù)，應(yīng)用matlab軟件對(duì)模型（2）進(jìn)行實(shí)證分析，具體數(shù)據(jù)見下表：

利用遺傳算法求解時(shí)輸入?yún)?shù)：交叉概率PC=0.86，變異概率Pm=0.058，迭代次數(shù)500，代溝為0.9，R=0.03，a=0.1.求得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值等于0.0084，最優(yōu)權(quán)重向量:

X=（0.0381，0.0874 ，0.2338，0.0985，0.0419，0.1982，0.0204，

0.0947，0.0678，0.0397，0.0095，0.0194，0.0028，0.0062，0.0417)

迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系

從迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系（見左圖）可以看出該算法經(jīng)過280代后開始收斂，并且得到了該模型的近似最優(yōu)解。

五、結(jié)束語

本文研究了機(jī)會(huì)約束下求解半絕對(duì)離差投資組合模型的一種方法，利用隨機(jī)模擬技術(shù)在資產(chǎn)收益服從自由度為5的t 分布時(shí)，以機(jī)會(huì)約束作為樣本產(chǎn)生的依據(jù)來隨機(jī)產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)收益率；利用遺傳算法來求解半絕對(duì)離差投資組合模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法用隨機(jī)模擬技術(shù)和遺傳算法在matlab軟件中成功地實(shí)現(xiàn)了模型的求解，避免了將機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化為確定的等價(jià)類型的求解的復(fù)雜計(jì)算過程，同時(shí)也易得到全局最優(yōu)解，進(jìn)一步研究可以廣泛應(yīng)用于金融和最優(yōu)控制等許多領(lǐng)域。

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[責(zé)任編輯 陳麗敏]